Разъяснение неравенств Белла

Статья не удалась, в ней есть ошибки. См. обсуждение.

9.02.2006

14.02.2006 — исправления круговой диаграммы

20.02.2006 — исправления формулировок после 3-й таблицы

Введение

Эта статья посвящена квантовой механике. Сегодня я, наконец, как мне кажется, понял, как показать сущность неравенств Белла на простом примере. Формально вывод неравенств Белла можно найти в Интернете, здесь же я напомню их смысл и приведу свою наглядную иллюстрацию.

Волновая функция

Итак, в чём смысл неравенств? Дело в том, что квантовая механика предполагает совершенно особенное описание мира. Каждая физическая система описывается так называемой волновой функцией. Законы квантовой механики определяют, по каким законам должна изменяться волновая функция. То есть, если известно, какова была волновая функция в начале, то по квантовой механике можно рассчитать её эволюцию. Волновая функция представляет собой облако, размазанное в пространстве. Примером волновой функции может служить волновая функция единственного электрона в атоме водорода, то есть, электронное облако.

Но это ещё не особенность. Особенность же состоит в том, что сама волновая функция ненаблюдаема, а наблюдаемы только некоторые физические величины. Всякий раз, когда производится измерение, то есть, производится акт наблюдения, волновая функция претерпевает некое изменение (которое называется "коллапс волновой функции") и мы наблюдаем только результат этого изменения. Например, если мы будем пытаться зарегистрировать электрон в атоме водорода, то каждый раз будем обнаруживать его в одной точке. Мы никогда не увидим самого электронного облака (если захотим точно узнать, где электрон)!

И вот тут есть один нюанс. Когда мы производим наблюдение, то волновая функция не просто изменяется, а изменяется случайно и случайность эта, согласно квантовомеханической модели, абсолютна!

То есть. Мы часто сталкиваемся со случайностью в реальной жизни. Но чаще всего эта случайность объясняется тем, что мы просто чего-то не знаем. Например, когда мы подбрасываем монетку, то теоретически какой-нибудь быстродействующий компьютер мог бы просчитать её полёт и предсказать, какой стороной она выпадет. Мы же, поскольку на это неспособны, считаем, что монетка падает случайно. Если мы гадаем на картах, то выпадающие карты тоже, разумеется, выпадают не случайно: они ещё до начала гадания лежат в колоде строго определённым образом и этот расклад полностью предопределяет исход гадания. Сам расклад, естественно, тоже неслучаен, а определяется теми движениями, которые мы выполняли, когда тасовали колоду. Однако, поскольку мы этих подробностей не знаем, не можем за ними уследить и удержать в памяти, то считаем, что выпадение карт случано.

В квантовой механике не так. Когда волновая функция претерпевает коллапс, его исход строго ни от чего не зависит. Квантовая механика позволяет рассчитать возможные исходы. Она позволяет рассчитать вероятности этих исходов. Но она не позволяет рассчитать, какой именно исход выпадет. Более того, она утверждает, что это рассчитать невозможно!

Принцип неопределённости Гейзенберга

Итак, вся информация о системе, заключена в её волновой функции. Зная волновую функцию, можно узнать значения всех других переменных, которые характеризуют систему. Например, можно узнать координаты электрона в электронном облаке в атоме водорода или его скорость. Но при этом, поскольку волновая функция представляет собой облако, при некоторых волновых функциях координаты не получаются конкретными (они размазаны по облаку). При других волновых функциях не получается конкретных импульсов.

Оказывается, что те правила, по которым из волновой функции можно рассчитать наблюдаемые величины таковы, что есть величины, которые нельзя наблюдать одновременно (с абсолютной точностью). Например, если волновая функция такова, что конкретна координата, то размазанной оказывается скорость (точнее говоря, импульс). А если конкретной оказывается скорость, то размазывается координата. Объясняется это тем, что координата есть местоположение волновой функции и конкретна она тогда, когда волновая функция (облако) сосредоточена в одном месте. А скорость есть частота волновой функции и конкретна она тогда, когда волновая функция однообразно колеблется на протяжении большого расстояния. Это я описал подробно в одной моей старой заметке.

Несмотря на то, что модель проста, сам по себе тот факт, что некоторые привычные физические величины взаимно исключают друг друга, кажется невероятным. Кроме того, в том состоянии, в котором одна из величин размыта, НА ОПЫТЕ, как я уже сказал выше, мы размытого значения не получим, а получим мы СЛУЧАЙНОЕ значение в пределах размытости.

Парадокс Эйнштейна-Подольского-Розена

Эйнштейн, совместно с другими учёными, придумал мысленный эксперимент, который, на первый взгляд позволяет "перехитрить" квантовую механику. Опыт основан на том, что в природе существуют различные законы сохранения, из-за которых некоторые характеристики нескольких частиц оказываются связанными друг с другом.

Например, есть закон сохранения импульса. Если в некоторой точке из состояния с нулевым импульсом родились две частицы, то их суммарный импульс должен остаться равным нулю. Импульс пропорционален скорости, а это значит, что эти две частицы должны разлететься в противоположные стороны с одинаковыми, но противоположно-направленными импульсами (что в сумме даёт ноль). Идея опыта заключалась в том, чтобы подождать, пока две такие частицы разлетятся, после чего померять импуль одной из них. Импульс второй частицы станет известен автоматически, без прикосновения ко второй частице и мы можем измерить только лишь её координату. В итоге, у второй частицы мы будем одновременно знать и импульс и координату!

Запутанные состояния

Однако, квантовая механика выкрутилась! Она, как оказалось, включает в себя одно явление, которое перечёркивает все усилия опыта. Это явление назвали запутанностью или сцеплением. Согласно квантовой механике, две частицы, родившиеся в результате опыта, подобного опыту в парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена (такие частицы назвали ЭПР-пары), оказываются описаны единой волновой функцией. То есть, они оказываются связаны между собой, как кукла Вуду с оригиналом. Даже, если частицы успели отлететь далеко друг от друга, то измерение, произведённое только над одной из них, приводит к коллапсу всей единой волновой функции. То есть, если мы измерили импульс одной частицы и размазали при этом её координату, то мы одновременно измерили импульс и другой частицы и её координату тоже размазали. И потому, когда мы приступим к измерению координаты второй частицы, то она уже будет в размазанном состоянии и просто сколлаписрует ещё раз под наше новое измерение. То есть, состояние, в котором одновременно определены обе величины, мы всё равно не получим.

Казалось бы, это явление можно использовать для передачи сигнала со скоростью, превышающей скорость света, а это должно быть невозможно. Так что же, квантовая механика противоречит теории относительности? Оказывается, нет. Вспомните, что я говорил про случайность: коллапс волновой функции случаен. Да, мы можем инициировать процесс, который мгновенно охватит область размером с галактику. Но этот процесс будет строго случайным и с помощью него не получится передать никаких сведений.

Неравенства Белла

Но осталась ещё версия, что частицы просто "знают" заранее, какие результаты они будут демонстрировать в измерениях, то есть, что никакой случайности нет.

Оказывается, можно построить статистический эксперимент, который будет показывать отличия между всеми ситуациями и эти отличия сформулированы в виде неравенств, которые называются неравенства Белла. Если неравенства Белла выполняются, то квантовая механика неполна, есть локальные скрытые параметры, а случайности может не быть. А если неравенства нарушаются, то квантовая механика полна, её причуды объективны, случайность есть, а скрытых параметров нет.

В неравенствах Белла значительную часть занимает статистическая формула, позволяющая свести законы квантовой механики к реальной статистике, которую можно наблюдать на опыте. Я не буду сосредотачиваться на этом аспекте. Вместо этого я опишу наглядную ситуацию, в которой будет описано, как МОГУТ вести себя квантовые объекты и при этом будет очевидно, что никаким способом нельзя объяснить их поведение при помощи классических секретов.

Исходная ситуация: мы на бирже. Биржа — это такое место, где торгуют ценными бумагами — например, акциями. Представим себе несколько старомодный вариант биржи, когда по ней физически бегают агенты, которые называются брокерами. Пусть мы наблюдаем за двумя брокерами — Катей и Борей. В общем случае мы хотим выяснить, действуют ли они самостоятельно или по заданию из единого центра — брокерской конторы.

Мы не можем напрямую спросить брокера, как он действует, иначе раскроем себя. Единственное, что мы можем сделать — это подойти к нему и предложить ему сделку по акциям. Тогда он согласится либо купить, либо продать. А мы, на основании этих данных, попытаемся выяснить, что нам нужно. Допустим, так же, что мы проводим лишь одно действие в день, чтобы не вызывать подозрений.

Я буду иметь в уме некую постановку эксперимента с квантовыми частицами и некий результат этого эксперимента. Но вам я буду сообщать его на языке этих брокеров. В любом случае, результаты, которые я буду сообщать, не являются обязательными с точки зрения квантовой механики. Но они МОГУТ быть именно такими. Так что я умышленно буду иметь в виду именно тот опыт, в котором "чудеса" квантовой механики проявятся во всей красе.

Первая серия опытов.

Постановка: мы подходим один раз в день к одному из брокеров (Катя и Боря) и предлагаем сделку по акциям одной из трёх фирм (Аэрофлот, Лукойл и Ростелеком). Результат: брокеры равновероятно решают то купить, то продать.

Сведём эти результаты в таблицу:

Но
Подхо-дов
Катя
Боря
Аэрофлот
Лукойл
Ростелеком
Аэрофлот
Лукойл
Ростелеком
1 1/12 покупает
2 1/12 продаёт
3 1/12 покупает
4 1/12 продаёт
5 1/12 покупает
6 1/12 продаёт
7 1/12 покупает
8 1/12 продаёт
9 1/12 покупает
10 1/12 продаёт
11 1/12 покупает
12 1/12 продаёт

Здесть мы предположили, что очень много раз (например, 120 раз) подходили к брокерам и одной двенадцатой части подходов (то есть, 10) соответвует каждая строчка. В каждой строчке есть только одна запись, что означает, что мы имели возможность только одной проверки каждый раз.

Пока из этого наблюдения можно сделать только один вывод: никакого предпочтения тем или иным акциям не делается. Но это может быть свойственно как самим брокерам, если они действуют независимо, так и их хозяевам.

Вторая серия опытов

Постановка: мы посылаем своих агентов одновременно к каждому брокеру и одновременно предлагаем им одну и ту же акцию. Результат: брокеры соглашаются на противоположные действия с акциями. То есть, если один решил купить, то другой решает продать и наоборот.

Сведём и эти результаты в таблицу:

Но
Подхо-дов
Катя
Боря
Аэрофлот
Лукойл
Ростелеком
Аэрофлот
Лукойл
Ростелеком
1 1/6 покупает продаёт
2 1/6 продаёт покупает
3 1/6 покупает продаёт
4 1/6 продаёт покупает
5 1/6 покупает продаёт
6 1/6 продаёт покупает

Здесь мы совершили, допустим, 60 подходов, каждый раз к двум брокерам сразу и в каждые 10 из них получали различную ситуацию. В каждой строчке по две записи у разных брокеров но по одной акции, что соответствует условию опыта.

Из этого наблюдения можно сделать, в классической ситуации, только один единственный вывод: брокеры управляются из единого центра. В начале дня, хозяин брокеров даёт им случайное, но противоположное задание (с точки зрения финансов это не очень разумно, но нам сейчас это не важно).

Если бы мы были уверены в классической природе мира, то больше мы бы никаких опытов не проводили бы. Одного второго опыта было бы достаточно, чтобы заключить, что брокеры не самостоятельны, что есть задание фирмы, которое существует ещё до того, как мы предлагаем им сделку.

Но мы уже наслышаны, что квантовая механика претендует на то, чтобы явить ещё одну возможность, и поэтому мы представляем третью серию опытов.

Третья серия опытов

Постановка: мы посылаем двоих агентов и они предлагают двум брокерам одновременно провести сделку по разным акциям. Результат: если один брокер решает купить одну предложенную ему акцию, то второй брокер решает купить другую предложенную ему акцию в 3/4 процентах случаев, а в 1/4 проценте случаев решает её продать. Аналогично с продажей и аналогично с другими акциями.

Занесём эти данные в таблицу. Опять сгруппируем результаты по комбинациям так, чтобы каждая строка таблицы представляла бы нам одинаковую порцию исходов.

Но
Подхо-дов
Катя
Боря
Аэрофлот
Лукойл
Ростелеком
Аэрофлот
Лукойл
Ростелеком
1 1/48 покупает покупает
2 1/48 покупает покупает
3 1/48 покупает покупает
4 1/48 покупает продаёт
5 1/48 покупает покупает
6 1/48 покупает покупает
7 1/48 покупает покупает
8 1/48 покупает продаёт
9 1/48 продаёт продаёт
10 1/48 продаёт продаёт
11 1/48 продаёт продаёт
12 1/48 продаёт покупает
13 1/48 продаёт продаёт
14 1/48 продаёт продаёт
15 1/48 продаёт продаёт
16 1/48 продаёт покупает

Здесь мы, ради экономии места отобразили только одну треть всех, встретившихся нам ситуаций, а именно, те случаи, когда мы предлагали первому брокеру акции Аэрофлота. Ясно, то остальные 2/3 ситуаций (то есть, 32/48) выглядят совершенно аналогично. То есть, в полной таблице будет 48 строк и в них, как и в приведённых строках, будут пустые клетки.

На первый взгляд, итоги третьего эксперимента не представляют ничего особенного. Но! Оказывается, что заполнить пустые клетки теми заданиями, которые якобы были даны брокерам и чтобы притом соблюдались свойства, открытые в этом и предыдущем опыте — НЕВОЗМОЖНО.

Почему нельзя?

Чтобы это понять, представим себя на месте той фирмы, которая даёт задание брокерам. Мы составляем план на каждый день, скажем, на квартал вперёд, и в этом плане сказано, какие акции какому брокеру продавать или покупать. Мы прямо сейчас не будем составлять этот план детально, а просто представим, что он уже есть и окинем его мысленным взором.

План представляет собой совокупность заданий брокерам на каждый день. В каждом из этих заданий чётко сказано, покупать или продавть те или иные бумаги. Поскольку второй брокер всегда получает задание, противоположное первому брокеру, то достаточно рассмотреть задания одному брокеру. То есть, каждое задание можно отнести к тому или иному классу из трёх пар классов. Если каждое задание сопоставить точке на круге, то это будет эквивалентно тому, что мы разбили круг на две части тремя разными способовами.

Для начала попросту разобём круг на половинки симметрично. Вот он:

Первый способ разбиения круга пополам — это штриховка. Само деление обозначено зелёным отрезком. Области, заштрихованные вертикально, соответствуют заданиям покупать Аэрофлот, а области, заштрихованные горизонтально — продавать.

Второй способ разбиения круга пополам — это цвет. Само деление обозначено красным отрезком. Области, закрашенные красным, соответствуют заданиям покупать Лукойл, а области, закрашенные лазоревым — продавать.

Третий способ разбиения круга пополам — это свет. Само деление обозначено синим отрезком. Тёмные области соотвествуют заданиям покупать Ростелеком, а светлые — продавать.

Таким образом, взяв любую точку, мы можем полностью определить, взглянув на её штриховку, цвет и свет, каково задание получил первый брокер по всем трём акциям. Второй брокер получает противоположное задание.

Площади областей соответствуют относительной доле тех или иных заданий. Тот факт, что каждым из трёх способов мы поделили круг поровну, соответствует результатам первого опыта, в котором видно, что все решения равновероятны.

Теперь посмотрим, соблюдено ли на этом рисунке то, что получено в результате терьей серии опытов? Иными словами, каково соотношение между случаями покупки одной акции первым брокером и одновременной продажи другой акции (тем же брокером, на этом рисунке мы видим задание только одного брокера).

Видно, что область одновременной покупки Аэрофлота одним брокером и покупки Лукойла тем же самым брокером (что соответствует продаже Лукойла другим брокером) занимаеи 2/3 всей области покупки Аэрофлота (одновременно вертикальная штриховка и лазоревый цвет). То есть, рисунок НАРУШАЕТ правила, обнаруженные в третьей серии опытов.

Можно ли перерисовать его так, чтобы он их не нарушал?

Станем заполнять рисунок постепенно. Сперва заполним правила для Аэрофлота и Лукойла. Наложим их друг на друга на 3/4, вот так:

Теперь добавим правило покупки Ростелекома (затемнение), первоначально на 3/4 наложив его на покупку Аэрофлота.

Видно, что при этом у нас покупка Лукойла и Ростелекома пересеклись всего на 2/4, а нам надо на 3/4. И сразу же ясно, что если мы попытаемся добавить ещё кусочек покупки Ростелекома, вот так

то тем самым уже не оставим место для светлой области нужной площади. То есть, мы не сможем выполнить требование о равновероятности покупки и продажи Ростелекома. Кроме того, мы не сможем выполнить требование, чтобы случаи продажи пересекались в одном брокере тоже на 3/4.

Видно, что удовлетворив одно соотношение, мы резко нарушили другие. Иными словами, представления об объективной реальности, которые состоят в том, что заранее существует некоторый целостный план, накладывают определённые требования целостности. Мы не можем получить ЛЮБОЕ соотношение между вероятностями, а только укладывающееся в определённые рамки.

Неравенства Белла, как раз и указывают эти рамки. И квантовая механика, как оказалось, за эти рамки выходит. Квантовая механика как бы чуть-чуть шире того, что можно получить в классической физике.

Подчеркну, что здесь речь идёт уже не о теории, а о практике. Нарушение неравенств Белла проверено экспериментально, так что то, что описано выше — оно так и есть!

Выводы

Итак, объяснение может быть только одно: в тот момент, когда мы предлагаем брокерам сделку, они не имеют заранее готового ответа. Вместо этого они созваниваются и вырабатывают решение прямо на месте.

Однако, в случае с частицами, мы имеем ещё одного "стража порядка" — теорию относительности. Она запрещает частицам (и брокерам, кстати, тоже) мгновенно обмениваться информацией. То есть, они должны обмениваться НЕ информацией. Или, не тем, что мы обычно называем информацией.

То есть, один брокер не имеет права принять решение первым, сообщить о нём второму брокеру и, тем самым, определить его поведение, потому что это была бы обычная информация и она должна была бы передаваться быстрее света. Нет! Они обязаны выработать решение именно совместно, но не обмениваясь при этом информацией!

То есть, брокеры представляют собой "мистически" связанное целое. Они не представляют собой части, которые общаются, они представляют собой единое нелокальное решение, возникшее из ничего на огромном протяжении пространства!

Литература

  1. А. Боум, "Квантовая Механика, основы и приложения", Москва, Мир, 1990; параграф XIII.3 (серьёзная книга)
  2. Р. Пенроуз, "Новый ум короля, о компьютерах, мышлении и законах физики", Москва, УРСС, 2003; Глава 6, конец части "Парадокс Эйнштейна, Подольского и Розена" (научно-популярная книга).

Обсудить >>