О метрике, эталонах и классическом пространстве

(с) Архитектор, 10.09.2006

Мне бы хотелось проанализировать интересный (и довольно спорный) тезис, который выдвигался Владимиром Мясниковым в одной из его статей. Этот тезис поднимает ряд важных вопросов, связанных с геометрической интерпретацией СТО.

Господин Мясников утверждает следующее:

«Евклидово "пространство + время" классической физики с сигнатурой ( + + + + ) и пространство-время Минковского специальной теории относительности ( – + + + ) различаются на топологическом уровне, и не существует топологически непрерывного преобразования от одного к другому. Применительно к физике это означает, что не существует "плавного" перехода от классической физики к теории относительности и обратно — классическая физика не является предельным случаем теории относительности при малых скоростях или слабых гравитационных полях»

В конечном счете, здесь доказывается, что классическая физика не является частным случаем релятивистской, а значит СТО не удовлетворяет принципу Бора. Напомню, принцип соответствия Бора требует, чтобы каждая новая теория включала в свой состав старые как частный случай. Таким образом, старые теории не отвергаются, но приобретают более узкие границы применимости.

Я не буду критиковать и разбирать доводы оппонента, а просто порассуждаю на данную тему, чтобы, в конце концов, прийти к выводу, который подтвердит или опровергнет утверждение господина Мясникова.

Совершенно ясно, что если бы классическая физика требовала сигнатуру (+ + + +), а релятивистская требует (– + + +), то они, очевидно, противоречат друг другу и никакого соответствия нет. Нам нужно выяснить, корректно ли приписывать классическим пространству и времени сигнатуру (+ + + +)? Чтобы ответить на этот вопрос, следует начать издалека, с законов аффинных и метрических пространств.

Немного о метрике и эталонах

Прежде всего, поясним значение метрики. Итак, пространство описывается с помощью системы координат (СК). СК приписывает каждой точке пространства набор координат, которые идентифицируют эту точку однозначно. Чтобы задать в нашем 3-мерном пространстве СК достаточно приложить три (неколлинеарных между собой) стержня произвольной длины к какой-либо точке – началу координат. Все, теперь мы можем координатно описать наше пространство!

СК, заданная c помощью набора произвольных единичных векторов (стержней), называется аффинной. Заметим, что на базисные векторы не накладывается никаких особых ограничений ни по длине, ни по углу между ними. Достаточно того, чтобы их число совпадало с мерностью пространства и ни один из них нельзя было бы представить как линейную комбинацию других.

Это обеспечивает нас большой свободой в составлении СК! А значит любая точка пространства может иметь какие угодно координаты. Кажется, таким произволом мы вносим в наше пространство субъективность. Например, если нам потребуется вычислить высоту Останкинской башни, мы вольны пользоваться линейкой любой длины. Причем каждую из них в отдельности мы будем считать «единичной», ибо у нас нет других эталонов.

Но тензорное исчисление учит: длина (расстояние между двумя точками пространства) является скаляром и в любых СК имеет одно и то же значение. Высота Останкинской башни не зависит от способа измерения! Дело в том, что мы должны заранее определить ту единицу, в которой выражается скаляр «длина». Согласно СИ, истинный метр – это расстояние, которое пройдет свет в вакууме за 1/300000000 секунды. Поэтому, если мы хотим следовать стандартам и не хотим лишних трудностей, мы выберем из кучи «единичных» линеек те, что соответствуют требованию СИ. То есть метровые.

Но что делать с «плохими» линейками? Что делать, если пространство уже размечено, разлиновано, а стандарты изменились? Мы измерили высоту Останкинской башни метром, а когда вернулись, СИ уже отменил свой стандарт и ввел другой. «Хорошие» линейки превратились в устаревшие и неудобные. Оказывается, и «плохими» линейками можно измерять расстояния! Но нужно учитывать их взаимосвязь со стандартом длины. Здесь на сцену выходит метрика. Она показывает, насколько отличается единичная линейка от эталонной. Например, для землемера, пользующегося двухметровой линейкой, метрика будет равна 0,5. То, что он намеряет, следует дополнительно домножить на 0,5 и только тогда получится значение скаляра по текущему стандарту.

Итак, помимо единичных стержней (которые могут и не быть метровыми) в СК задается метрика. В стандартных СК метрика тоже присутствует, но она имеет стандартный вид и входит в уравнения не столь явно. Метрика определяется метрическим тензором guv, который может быть приписан всему пространству (как в плоских пространствах и прямолинейных координатах), либо задается для каждой точки пространства (как в искривленных координатах или искривленных пространствах).

Таким образом, эталон является неким первичным параметром пространства. Разумеется, у нас есть неограниченная свобода в выборе эталона. Но он обязательно должен быть определен и неявно фигурировать в любой СК, которой мы это пространство описываем. Явный представитель эталона в СК – это метрика! Грубо говоря, метрика это степень отклонения данной СК от «стандартной», где в метрике нет особой нужды.

Такое представление вскрывает одну особенность тензорного анализа. Вспомним сказку Кэрролла, где Алиса откусила кусочек гриба и стала выше, а весь остальной мир, соответственно, стал меньше. Можно подумать, что здесь наблюдается полная относительность – ни нормальная, ни выросшая Алиса ничем друг от друга не отличаются и смотрят на мир одинаково. Но тензорный анализ трактует иначе: изменение мира – координатный эффект, связанный с ростом Алисы, и физического смысла не имеет. Эталон метра не изменился. Следовательно, выросшая Алиса должна смотреть на мир иначе, чем нормальная. Она должна сравнивать все предметы не со своим ростом, а с эталоном. Если же эталона под рукой нет, то она должна записать где-нибудь на бумажке, во сколько раз ее рост («единичный» для нее самой) превышает нормальный. Это и будет ее метрика.

Вспомним, что Алиса, в конце концов, смогла принять свой обычный рост. Это было бы невозможно при полной относительности, но возможно в тензорном анализе. Она просто нормировала свою метрику, т.е. привела ее к «единице».

Отметим, что не любое преобразование СК привносит неудобство в виде метрики. Такие преобразования как поворот или перенос начала координат являются стандартными и сохраняют единичность метрики. Однако нужно уточнить, какую именно метрику следует считать единичной! Например, преобразования Лоренца сохраняют единичность псевдоевклидовой метрики, но искажают евклидову. То, что преобразования Лоренца являются переходом между стандартными, инерциальными СО, не подлежит сомнению. Отсюда следует, что метрика пространства-времени является именно псевдоевклидовой.

Двойственность метрики

Метрика, вообще говоря, имеет двойственный характер: она может появляться как результат «плохого» выбора СК, а может – как естественное следствие кривизны пространства. Первое, согласно идеологии тензорного исчисления, считается вредным, случайным явлением, от которого можно избавиться. Второе же есть ни что иное как проявление существенных свойств самого пространства и требует более подробного изучения (ОТО этим и занимается). Кстати, в ОТО эта двойственность выражается принципом эквивалентности: «плохая» метрика в закрытом лифте может объясняться и как неудачный выбор СО, и как гравитационное искривление пространства.

Если задана метрика, то СК уже не аффинная, а метрическая. Метрические СК условно делят на евклидовы и неевклидовы. Первые можно разделить на классические евклидовы и псевдоевклидовы. Эти названия отражают свойства самого пространства. Координатные (аффинные) свойства определяют СК как ортонормированную, косоугольную или криволинейную.

Приведем примеры:

классическая евклидова ортогональная СК (например, декартова СК);

классическая евклидова криволинейная СК (например, полярная СК);

псевдоевклидова ортогональная СК (например, ИСО в 4-континууме Минковского);

псевдоевклидова криволинейная СК (например, неИСО в 4-континууме Минковского).

Ковариантные свойства пространства и метрика

Ковариантными свойствами пространства я называю такие свойства, которые изначально определяют метрику любой СК, какую бы мы ни наложили на пространство. Действительно, на сферу не наложить декартовы координаты. Именно поэтому мы не можем развернуть карту мира с глобуса на плоскость без масштабных искажений. Так же невозможно плоскую карту города натянуть на шар, не порвав ее. Кривизна – это физическая особенность пространства, а не координат.

Другим ковариантным свойством пространства является сигнатура. Сигнатура это набор знаков на главной диагонали метрического тензора guv (компонент g11, g22, …, gnn). Их замечательное свойство в том, что знаки не меняются при любых преобразованиях СК на данном пространстве. Хотя сам метрический тензор (как и любой другой тензор ранга больше нуля) преобразуется по известному закону.

Сигнатура одномерного многообразия особого смысла не несет. Разве что (+) является сигнатурой вещественного континуума, а (–) – мнимого. В остальном они эквивалентны. В многомерных же пространствах сигнатура, в частности, определяет взаимное поведение координатных осей при ортогональных преобразованиях. Точнее, не чисто сигнатура, а отношения ее знаков между собой. Поэтому нет разницы между сигнатурами (– + + +) и (+ – – –). В обоих случаях пространственные координаты входят в метрику с одинаковыми знаками (значит, они эквивалентны), а временная координата – с противоположным (тем самым обособляется от пространства и не может поменяться местами ни с одной из пространственных осей). Точно так же эквивалентны сигнатуры (+ + +) и (– – –).

Таким образом, сигнатура является одним из важнейших свойств многообразия и не зависит от произвола выбора СК на нем. На одном и том же многообразии не может быть участков разной сигнатуры, плавно переходящих друг в друга. Но допускаются случаи перехода через сингулярность, как, например, в черных дырах. Но в этих случаях образуются два многообразия, разделенных бесконечностью.

Евклидовы и псевдоевклидовы СК

Оба вида СК относятся к классу евклидовых. Это значит, что и те, и другие можно наложить только на плоское n-мерное пространство. В этом их родство. Такие СК стандартны и обладают самой простой, единичной (относительно данного пространства) метрикой. Их различие заключается в топологических свойствах самого пространства, а точнее – в его сигнатуре.

Допустим, имеется плоское 3-мерное пространство. Имеются две точки с координатами (x, y, z) и (x’, y’, z’). Нужно найти расстояние s между ними. Иначе – длину отрезка, соединяющего эти точки.

Для начала найдем квадраты проекций отрезка на три оси. Это обычная аффинная процедура, в результате которой получаем: (x-x’)2, (y-y’) 2 и (z-z’) 2. Это еще не расстояния, а просто результаты замеров проекций. Далее нам нужно уточнить сигнатуру плоского пространство, т.е. правило образования из квадратов проекций квадрата длины.

Рассмотрим евклидову сигнатуру (+ + +). Три плюса означают, что нам нужно просто сложить квадраты:

s2 = (x-x’)2 + (y-y’) 2 + (z-z’) 2

Именно так вычисляются расстояния в нашем 3-мерном пространстве. Далее рассмотрим какую-нибудь экзотическую метрику (+ – –). Теперь нам нужно вычесть из квадрата x-проекции квадрат y-проекции и квадрат z-проекции:

s2 = (x-x’)2 — (y-y’) 2 — (z-z’) 2

Пространства такой сигнатуры не даны нам в ощущение, но имеют право на жизнь в математике.

Итак, сигнатура является частью метрики, но если метрика единичная (как в обоих этих случаях), то нам достаточно знания сигнатуры.

(+ + + +) или (- + + +)?

Для начала нужно отметить, что до начала XX века никто не пытался рассматривать пространство и время как единое целое. Время считалось абсолютным и текло одинаково для каждой точки абсолютного пространства. В связи с этим можно с полной уверенностью обеспечить пространство сигнатурой (+ + +), а время – сигнатурой (+), не объединяя их единый континуум.

Однако ничто нам не мешает в классической физике рассмотреть пространство событий – 4-мерное многообразие с тремя пространственными осями и одной временной? Не будет ли его сигнатура (+ + + +)?

Чтобы выяснить это, начертим диаграмму, но ограничимся одной пространственной осью x. Рассмотрим движение двух пешеходов А и В навстречу друг другу.

img1

Рис.1 – Мировая диаграмма и ИСО

Теперь разберемся, зачем нам знать сигнатуру этого 2-мерного многообразия? Какой смысл в «классике» имеет длина отрезка между событиями «отбытие А» и «встреча»? Ведь это только в СТО она имеет смысл как инвариантный 4-скаляр. В классической физике нам достаточно только промежутка времени между этими событиями.

Далее, если нам все же потребуется пространственно-временное расстояние, то как мы будем складывать промежутки пространства и времени? Для этого нам придется уравнивать их размерности, а значит домножать либо временную часть интервала, либо пространственную на некий стандартный масштаб. Причем масштаб должен иметь размерность скорости (для временной части), а в классической физике не было ничего похожего на стандартную скорость.

И последнее: не выполняется инвариантность пространственно-временного расстояния, даже если абсолютная скорость V (не бесконечная) будет найдена. С точки зрения лабораторной ИСО «отбытие А» и «встреча» произошли в разных местах, а с точки зрения, например, пешехода А – в одном и том же! Ведь он-то покоился, а двигался весь остальной мир. Но промежуток времени между событиями с любой точки зрения должен быть один и тот же. Значит для лабораторной ИСО пространственно-временное расстояние (интервал) будет равно:

[расстояние между «отбытием А» и «встречей»]2 + V2[промежуток времени между «отбытием А» и «встречей»]2

А для пешехода А он будет состоять лишь из:

V2[промежуток времени между «отбытием А» и «встречей»]2

Чтобы эти интервалы были равны, придется пожертвовать абсолютностью времени, что недопустимо в «классике». Конечно, можно сказать, что меняется V, но в стандартных метрических координатах это невозможно. Формула интервала должна быль одинакова для всех ИСО и не должна содержать дополнительных переменных параметров, кроме квадратов координат.

Если же мы примем абсолютную скорость V бесконечной (что, в принципе, соответствует ньютоновской физике), то все равно никаких доводов в пользу евклидовости или псевдоевклидовости континуума не получим. Все из-за того, что заметный поворот (смена ИСО) в таком пространстве будет невозможен даже при самых высоких скоростях, т.к. пространственный вклад в интервал будет ничтожным (точнее – нулевым) по отношению к временному. Чтобы обнаружить пространственный поворот нужно будет взять две бесконечно удаленные друг от друга точки. Таким образом, временную ось можно смело исключать из континуума как независимую от него, и рассматривать пространство и время отдельно друг от друга.

Мы выяснили, что объединять единой евклидовой сигнатурой классические пространство и время было бы совершенно неоправданным и бездоказательным. Ничто не говорит в пользу евклидовой метрики и против псевдоевклидовой! Ничто в классической физике не дает нам право выделить одну из них.

Правильная классическая диаграмма

Теперь определим, как правильно должна быть построена диаграмма событий классической физики.

Итак, построим лабораторную ИСО и отметим на ней два одновременных события и еще одно событие, наступившее после них через одну единицу времени. Так же проведем мировую линию движущегося тела:

img2

Рис.2 – Мировая диаграмма и ИСО

Одна ИСО (точнее, ее единичные время и расстояние) у нас есть. Теперь определим, как будет выглядеть ИСО движущегося тела.

Ось времени такой ИСО должна быть наклонена и совпадать по направлению с мировой линией тела. Это нужно для того, чтобы мировое тело в ИСО было покоящимся. Теперь пространственная проекция любого момента жизни нашего тела будет совпадать с любым другим моментом его жизни.

Что касается оси пространства, то она должна остаться без изменений. Действительно, одновременные события в одной ИСО должны остаться одновременными в другой. А так как одновременные события имеют одинаковую временную координату, то они должны лежать на линии параллельной пространственной оси.

Мы нашли направления осей, теперь определим длины единичных векторов. Длина вектора времени должна измениться. Это следует из того, что единичное время в одной ИСО должно быть так же единичным в другой ИСО:

img3

Рис.3 – Преобразование классических ИСО

Длина же единичного пространственного вектора не меняется, чтобы сохранялось инвариантным расстояние между двумя одновременными событиями.

Таким образом, преобразуется лишь единичный вектор времени. Это преобразование называется сдвигом.

Следует сделать замечание. Мы не выровняли на диаграмме размерности пространства и времени. В этом случае нам бы пришлось растянуть ось времени в бесконечное число раз (т.к. абсолютная скорость бесконечна). В результате чего оси t и t’ совпали бы, а сдвиг, который у нас получился, оказался бы в бесконечности. Еще одно доказательство, отвергающее необходимую евклидовость пространства событий. Преобразования между ИСО нет, а значит, нет и довода в пользу той или иной сигнатуры.

Выводы

Мы пришли к тому, что континууму событий классической физики совершенно излишне приписывать сигнатуру. Она до открытия Эйнштейна и Минковского оставалось неопределенной из-за ненадобности и отсутствия фактов, позволявших установить ее. Лишь когда Лоренцем были предложены его известные преобразования, а Эйнштейном они были приняты как обобщение преобразований Галилея, только тогда Минковский заметил, что они удивительно похожи на преобразование поворота в гиперболическом пространстве сигнатуры (– + + +). Лишь тогда обнаружилось, что в преобразовании для времени участвует и пространство, причем его вклад не является бесконечно малым! Лишь тогда сигнатура пространства-времени была окончательно определена, а не перекроена, как утверждается в исходном тезисе господина Мясникова!

Поэтому принцип соответствия Бора никак не может быть нарушен. Преобразования Лоренца при стремлении предельной скорости с к бесконечности (как подразумевалось в классической физике) трансформируются в преобразования Галилея. Т.е. в пределе низких скоростей:

(– + + +) —> (+) и (+ + +)

Не принципиально, какой будет знак, «+» или «–» в сигнатуре абсолютного времени – оно одномерно.

Классические же пространство и время оставались независимыми друг от друга, а на диаграмме событий они составляли не метрические, а более простые – аффинные СК (СК, в которых неизвестно правило получения расстояний по координатам).

Архитектор
ac_sh@mail.ru

Обсудить >>