Шест и сарай

Перевод на русский: Д. С. Кравченко, 25.05.2005
Обновлено: PEG, 29.04.1997;
Обновлено: SIC, 4.08.1992;
Оригинал: Robert Firth

Данный парадокс разбирался так же в соответствующем выпуске рассылки.

Вот условия. У Вас есть сарай длиной 40 м, на обоих концах которого расположены автоматические двери, которые можно одновременно открывать или закрывать при помощи тумблера. У Вас также есть шест, длиной 80 м, который, разумеется, в сарае не поместится.

Теперь кто-нибудь берёт шест и разбегается (почти до скорости света), держа его в руках горизонтально, и пытается пробежать сквозь сарай. Частная относительность (СТО) утверждает, что движущийся предмет сокращается в направлении движения: это называется Лоренцевым сокращением. Поэтому, если шест движется вдоль своей длины, он укорачивается с точки зрения неподвижного наблюдателя.

Вы — и есть этот наблюдатель, сидящий на крыше сарая. Вы видите приближающийся шест и видите, что он сокращён до длины, меньшей, чем 40 метров, в Вашей системе отсчёта. (А вообще-то видите ли Вы своими глазами сокращённый шест? На странице Можно ли увидеть Лоренцево сокращение приведён неожиданный ответ. В любом случае объективное измерение покажет, что длина шеста немного меньше 40 м).

Таким образом, при таком движении шеста, существует мгновение, когда шест целиком находится внутри сарая. В это мгновение Вы одновременно закрываете обе автоматические двери при помощи своего тумблера. Разумеется, в следующее мгновение Вы снова открываете двери, но всё-таки на какой-то миг сокращённый шест оказывается пойман в Вашем сарае. Бегун покидает сарай целым и невредимым.

Но рассмотрим теперь задачу с точки зрения бегуна. Он будет считать шест неподвижным, а сарай — движущимся навстречу с большой скоростью. В его системе отсчёта шест остаётся длиной 80 м, а вот сарай оказывается сокращённым до длины менее 20 м. Естественно, бегун окажется в беде, если двери закроются в тот момент, когда он будет находиться в сарае. А шест, естественно, сломается.

Так всё-таки, будет шест пойман в сарай невредимым или не будет? Кажется, что верны оба ответа и это противоречие называется "Парадоксом шеста и сарая". Разгадка заключается в неправильном использовании слова "одновременно" в первом предложении в начале рассказа выше. В СТО пространственно-разнесённые события, одновременные в одной системе отсчёта, не будут одновременными в другой. Закрывающиеся двери — и есть два таких разнесённых события.

СТО говорит, что две двери не будут закрыты одновременно в системе отсчёта бегуна. Поэтому, для шеста всегда отсанется место. Фактически, преобразование Лоренца для времени записывается так:

В данном случае срабатывает множитель vx в числителе. В системе отсчёта бегуна более далёкое событие (с большим x) случается раньше. То есть, сперва закрывается дальняя дверь, прямо перед кончиком шеста. Потом она открывается и пропускает шест, а задняя дверь закрывается сразу после входа другого кончика шеста в сарай. Запомните, что одновременность не является абсолютной в физике.

Что, если оставить двери закрытыми?

Если двери оставить закрытыми, то шест расплющится о дальнюю дверь. Если дверь выдержит удар, то передняя часть шеста остановится с точки зрения неподвижного наблюдателя. В теории относительности не может существовать абсолютно твёрдых тел, поэтому хвостовая часть шеста продолжит движение и будет сжимать шест даже в большей степени, чем он был Лоренцево сокращён. Если он не лопнет от напряжения и если он достаточно упруг, то он остановится целиком, а потом начнёт разжиматься до своего нормального размера, как пружина. Однако, поскольку шест длиннее сарая, то теперь уже хвостовая его часть упрётся в дверь и он окажется пойманным в сарае в сжатом состоянии.

References: Taylor and Wheeler’s Spacetime Physics is the classic. Feynman’s Lectures are interesting as well.