Как рисовать многомерные объекты

Я продолжу обсуждение вопроса о том, как повысить наглядность по поводу 4-мерного пространства.

Человек испокон веков сталкивался с проблемой изображения того, что он видел вокруг себя. Если забыть, что изображать можно словами, жестами, намёками и так далее и остановиться только на визуальном изображении, то проблема упирается в то, что в окружающем нас мире три измерения, а на бумаге (холсте, стене, доске, экране) — только два. Чтобы изобразить предмет, нужно его из объёмного сделать плоским но так, чтобы он остался узнаваемым и сохранил в себе важные черты оригинала.

Проекция

Человек изобрёл для этой цели несколько методов, один из них — метод проекции.

Он заключается в том, что от каждой точки (или от каждой важной точки) предмета строятся прямые линии (как бы лучи света), которые пересекают плоскость рисования (проекционную плоскость) и дают изображения оригинальных точек.

На этом рисунке показано, как лучи (показано только четыре луча), идущие от источника света, проходят через углы проволочного кубика и рисуют на экране его изображение — тень. Эта тень и называется проекцией (точнее говоря, это один из видов проекции).

Видно, что проекция искажает предмет, но в данном случае, оставляет его узнаваемым. (Кстати, сам этот рисунок — тоже проекция. То есть, мы здесь имеем дело с явлением второго порядка — проекцией процесса проецирования!)

Но иногда проекция может так сильно исказить объект, что узнать его будет нелегко.

Например, что изображено вот на этой проекции?

(пример взят из книги И. А. ВоротниковаЗанимательное черчение , Москва,Просвещение , 1977)

На первый взгляд понять трудно. Но если представить несколько проекций под разными углами, то догадаться станет легче:

(это ложка)

Проекций существует много различных видов. Вид проекции определяется тем, как и откуда идут лучи, которые строят тень. Например, если лучи идут из одной точки (так, как нарисовано выше), то такая проекция называетсяцентральной .

Вот изображение цилиндра в центральной проекции:

Для центральной проекции характерен эффект перспективы, когда параллельные линии превращаются в сходящиеся (на этом рисунке этому эффекту подвержены боковые стенки цилиндра).

Если лучи идут параллельно из бесконечности (приближением такой ситуации являются солнечные лучи, которые идут от очень далёкого солнца), то эффекта перспективы не будет:

Такая проекция называетсяпараллельной .

Мы не будем подробно разбирать все виды проекций. Важно понять, что когда рассматриваешь изображение, полученное при помощи проекции, его ещё надо расшифровать в уме (для этого, конечно же, надо знать, по какому алгоритму строится данная конкретная проекция) и только потом можно будет (в воображении) получить правильный облик предмета.

Сечение

Другой способ изображения называется методом сечения.

Он состоит в том, что изображаемый предмет разрезается (воображаемой) плоскостью и рисуется то, что с ней соприкоснулось.

Рассмотрим сечения конуса. Конусом называется вот такая фигура:

(не забывайте, что на этом рисунке изображён не сам конус, а его проекция)

Теперь разрежем его горизонтальной плоскостью:

В сечении конуса получится окружность (находится в месте пересечения конуса и плоскости). Но на этом рисунке этого не видно (вместо окружности виден эллипс). Причина этому в том, что для получения этого рисунка использовалось два преобразования: сперва конус был разрезан плоскостью (при этом в сечении получилась окружность), затем вся полученная конструкция была подвергнута проекции (чтобы нарисовать на экране), а в проекции окружность почти всегда превращается в эллипс.

Если произвести проекцию лучами, перпендикулярными плоскости, то круг станет виден отчётливо (вид сверху):

Если разрезать конус наклонной плоскостью, то в сечении получится уже настоящий эллипс.

На рисунке он виден как эллипс, но, поскольку это проекция, этот эллипс мог быть на самом деле и окружностью. Но на рисунке справа видно, что это всё-таки эллипс.

Если наклонить плоскость настолько, что она станет параллельна одной из наклонных сторон, то эллипс разомкнётся и получится незамкнутая кривая, называемая параболой:

Если рассечь эллипс вертикальной плоскостью, то полученное сечение тоже будет незамкнутой кривой, но из-за отличающихся (более тонких) свойств, она имеет другое имя — гипербола. Она изображена ниже:

Таким образом, мы рассмотрели метод сечений на примере конуса. Сечения конуса (окружность, эллипс, парабола и гипербола) так и называются — коническими сечениями.

Четырёхмерные объекты

Теперь мы знаем два мощных метода изображения трёхмерных объектов на двухмерном экране или листе бумаги. Эти методы можно обобщить для того, чтобы изображать и четырёхмерные объекты.

В одном из наших прошлых выпусков мы пришли к выводу, что 4-мерное пространство можно рассматривать, как совокупность 3-мерных (обычных) пространств. Теперь мы можем чётко сказать, что наше обычное 3-мерное пространство здесь-и-сейчас — это 3-сечение 4-мерного пространства времени.

То есть.

Только что мы рассекали 3-мерную фигуру при помощи плоскости, то есть 2-мерной фигуры. Получалось 2-мерное сечение. А в случае 4-пространства делается более сложная штука — 4-мерный мир рассекается 3-мерным объектом и получающееся 3-мерное образование тоже есть сечени. Выше мы использовали сечение для того, чтобы суметь нарисовать 3-мерный объект. Сечения 4-мерного пространства мы можем использовать для того, чтобы суметь его себе представить (и нарисовать тоже).

Итак, начнём представлять.

Первое, что мы представим — это равномерно движущийся предмет, например, бильярдный шар. Вспомним, что каждый момент времени — это сечение 4-мерного пространства.

Поэтому, изготовим несколько сечений 4-пространства в разные моменты времени (каждое из таких сечений будет 3-пространством) в процессе движения шара, затем применим метод проекции к каждому из этих сечений. Получится ряд рисунков, восемь из которых приведены ниже:

Это — одно из представлений 4-пространства, но оно не очень удобно, громоздко. Попробуем его упростить. Заметим, что бильярдный шар движется по плоскости сукна, то есть, в двух измерениях. Следовательно, мы можем взять серию не 3-мерных, а 2-мерных сечений 4-пространства. Каждое из таких сечений будет плоскостью. Разместим плоскости в разных моментах времени, но каждый раз параллельно поверхности стола и неподалёку от неё. Получится вот что:

Мы видим, что сукно превратилось в прямоугольник, бортики — в рамку, а шар — в круг.

Но ведь этот ряд 2-мерных сечений можно рассматривать как совокупность сечений какого-то 3-мерного объекта, то есть, их можно сложить стопкой и посмотреть, что полуится.

А получится примерно вот что:

То есть, зелёный прямоугольник превратится в зелёный объём, рамка превратится в стенкисосуда , а круг превратится в наклонный столбик. Почему в наклонный? Потому, что шар двигался, то есть, смещался от сечения к сечению.

(напоминаю, что полученный 3-мерный объект был ещё и подвергнут проекции, чтобы его можно было изобразить на 2-мерном экране)

Что же мы сделали?

Мы построили другое сечение 4-мерного пространства-времени. Точно так же, как конус можно было рассечь двумя плоскостями, вертикальной и горизонтальной (рисунок):

Точно так же и 4-мерное пространство можно рассечь 3-пространством по-разному.

Вот оба сечения:

Слева изображено сечение 4-пространства таким 3-пространством, которое перпендикулярно времени. На нём изображены все три пространственных измерения, но только один момент времени. Справа изображено сечение 4-пространства таким 3-пространством, которое параллельно времени. На нём изображено временное измерение и два пространственных (плоскость стола), а третье пространственное измерение (высота) забыто (опущено, отброшено) (точнее говоря, из него взят только один слой — уровень стола).

🙂

(напоминаю, что оба рисунка подвергнуты ещё и проекции)

Таким образом, сечение можно рассматривать, как отбрасывание одного или большего числалишних измерений. Это очень сильный метод, поскольку представить себе все три или четыре измерения бывает очень трудно.

Мировая линия

Дальше мы не будем изображать стенки, сукно и другие окружающие предметы. Мы станем изображать только само движущееся тело. И метод при этом будем использовать такой, чтобы в сечении оставалось временнОе измерение.

Каждое такое сечение будет 3-пространством, которое мы будем ещё подвергать и проекции, чтобы нарисовать. Ясно, что каждое движущееся тело будет образовывать какую-то линию. Эта линия называетсямировой линией . Каждое тело имеет свою мировую линию.

Ну, во-первых, покоящееся тело имеет прямую вертикальную мировую линию:

Равномерно движущееся тело имеет тоже прямую мировую линию, но наклонную:

Если тело вращается по окружности, то его мировая линия имеет форму спирали:

Ниже изображено тело, которое вращается по окружности вокруг неподвижного тела:

А здесь оба тела движутся в пространстве:

А здесь изображена более реалистичная ситуация — два тела вращаются по окружностям вокруг общего центра (это характерно для космических тел, например, это может быть Земля и Луна):

А вот мировая линия ускоряющегося тела, она кривая!

Мультипликация

Есть ещё один метод изображения 4-мерных объектов, самый реалистичный — кино (или мультипликация). В кино составляются проекции 3-мерных сечеий 4-странства, которые называются кадрами (во как!). Затем кадры начинают последовательно демонстрироваться зрителю так быстро, чтобы он не замечал смены кадров: в результате временнОе измерение изображается как есть — развёрнутым во времени.

Казалось бы, это самый натуральный способ и говорить о нём как об ухищрении, нельзя. Однако, он может сослужить пользу, если мы захотим изобразить какую-нибудь математическую 4-мерную фигуру.

Например, есть такая фигура, как 4-куб (который называетсятессеракт ). Обычный куб является 3-мерным расширением квадрата, то есть, квадрат — это 2-мерный куб. Сам квадрат является 2-мерным расширением 1-мерного объекта, отрезка. А отрезок является расширением 0-мерного объекта — точки.

Все эти сложные объекты состоят из более простых, данные по которым сведены в таблицу:

Но	Название объекта	Количество 0-мерных компонент ( углов )	Количество 1-мерных компонент ( рёбер )	Количество 2-мерных компонент ( граней )	Количество 3-мерных компонент (нет названия)
0	точка	1	нет	нет	нет
1	отрезок	2	1	нет	нет
2	квадрат	4	4	1	нет
3	куб	8	12	6	1
4	тессеракт (гиперкуб)	16	32	24	12

(изображение тессеракта можно посмотреть в статье в Википедии)

Так вот, для изображение тессеракта можно использовать метод проекции. А можно использовать метод мультипликации.

Как будет изображаться тессеракт методом мультипликации?

Очевидно сначала в пространстве будет пустота. Потом на мгновение в нём возникнет обычный 3-мерный куб — это временнОе сечение пересечёт 3-мерную гипергрань тессеракта. Потом 3-куб исчезнет, но останется 8 точек — его углы. Некоторое время эти углы будут висеть неподижно, пока время будет проходить через гипеграни, параллельные времени, а затем опять на мгновение появится 3-куб —дальняя (точнее говоря, поздняя) гипергрань тессеракта.

Еще можно подумать над тем, каким образом методом мультипликации нарисовать так называемую бутылку Клёйна — 4 мерную поверхность, у которой всего одна сторона. Но это я сделаю как-нибудь в другой раз 🙂

Вот и всё.

Скачать исходные файлы иллюстраций в формате 3dsmax (128К) >>

Димс.

< Предыдущая		Следующая >