Геометрия мира Минковского

В данной статье речь пойдет о геометрии псевдоевклидового мира Минковского. В предыдущей статье, посвященной данной теме, мы рассмотрели 4-пространство и выяснили, что такое интервал. Однако, при этом мы использовали лишь одну инерциальную систему отсчета, с позиции которой выясняли некоторые свойства пространства-времени. Сейчас мы попытаемся выяснить, как будут выглядеть пространство и время с позиции разных наблюдателей.

Инерциальные системы отсчета

Сначала определим, как будут выглядеть разные ИСО в пространстве Минковского. Рассмотрим две ИСО, движущиеся со скоростью v относительно друг друга. Пусть мы находимся в одной из них и наблюдаем за другой. Так как любая ИСО обязательно должна быть жестко связана с объектом, покажем мировую линию этого объекта в нашей ИСО (она обозначена красным цветом):

Рис.1

Мы помним, что мировые линии реальных неускоренных объектов не могут заходить за грани светового конуса.

Нужно узнать, как будут выглядеть оси движущейся ИСО. Преобразования осей должны удовлетворять преобразованиям Лоренца и сохранять неизменным пространственно-временной интервал. Так как преобразования Лоренца не декартовы, а аффинные, то это либо параллельный перенос осей координат, либо их вращение. Параллельный перенос сразу же отбрасывается, так как он меняет лишь начало отсчета ИСО. Будем исходить из того, что оси движущейся ИСО поворачиваются относительно осей неподвижной.

Объект, с которым связана новая ИСО, должен быть относительно ее неподвижен. Это значит, что его мировая линия должна быть параллельна временной оси новой ИСО. Итак, мы нашли положение оси ct’.

Теперь что касается оси x’. Новая система отчета должна удовлетворять в частности такому требованию: изотропные (светоподобные) интервалы в неподвижной ИСО должны оставаться изотропными и в новой ИСО. То есть положение светоподобных интервалов (на Рис.1 – серая линия) должна быть биссектрисой координатных углов обеих ИСО. Этого достаточно, чтобы определить положение пространственной оси x’:

Рис.2

Новая система отсчета уже не прямоугольная. Заметим, что при приближении скорости ИСО к скорости света, координатные оси как бы стремятся «схлопнуться» в одну линию.

Именно поворот пространственной оси x’ отличает специальную теорию относительности от классической кинематики, в которой эта ось не меняет свое положение. Так же этот поворот объясняет относительность одновременности.

Относительность одновременности

Одновременными являются те события, временные координаты которых совпадают. Они лежат на прямых, параллельных оси x той ИСО, относительно которой устанавливается одновременность.

В неподвижной системе отсчета я показал эти события черными линиями, а в движущейся – красными.

Рис.3

Очевидно, что одновременные события в одной ИСО в другой, движущейся ИСО одновременными уже не будут.
Калибровочные гиперболы

Теперь настало время разобраться с метрикой пространства-времени. Во введении в данную тему я отметил, что на диаграмме место точек, равноудаленных от данной, — это не окружность, а гипербола.

Какой смысл имеет единичная окружность в декартовых евклидовых координатах? Она отсекает равные единичные отрезки на координатных осях всех систем координат:

Рис.4

Роль гиперболы в мире Минковского аналогичная: она отсекает единичные длины на координатных осях систем отсчета.

Рис.5

То, что одна из ИСО – прямоугольная не означает, что она занимает превосходствующее положение относительно всех остальных. Это объясняется лишь удобством построения.

Любая точка X пространства событий может быть выражена посредством координат. Но, очевидно, что координаты одного и того же события в разных ИСО будут различными. Причина этого – различные ориентации и модули единичных векторов.

Пусть единичные векторы данной ИСО заданы некоторой величиной E (назовем ее базисом) относительно единичных гипербол. Тогда должно быть справедливо равенство:

где X и X