Преобразования поворота

В выпуске показывается, как при помощи простейших школьных знаний по геометрии можно вывести формулы, удивительно напоминающие преобразования Лоренца.

Здравствуйте, уважаемые читатели!

В прошлой рассылке я рассказал о двух племенах, которые в силу религиозных причин измеряли координаты на поверхности земли по-разному и постарался показать, что эти два племени находились почти в том же положении, в котором находятся наблюдатели из разных систем отсчёта в СТО.

Один из представителей племён стал еретиком, нарушил религиозные табу и посмел искать связь между координатами в системах двух враждующих религий.

Сегодня мы воспроизведём его расчёты, так что у нас математический выпуск.

Некоторые школьные знания

Вывод будет основан только на школьных знаниях, которые я тут напомню.

1. Углы

Углом называется численная мера разворота двух отрезков, соединяющихся в одной точке. Угол измеряется в градусах. Разворот на всю четверть круга равен 90 градусам и называется прямым углом. Разворот на пол круга равен 180 градусов и называется развёрнутым углом. Весь круг составляет 360 градусов.

Углы можно обозначать, указывая по три точки, входящие в образующие их отрезки, причём в середине ставится буква, обозначающая вершину угла.

2. Вертикальные углы

Если пересекаются две прямые, то образуется четыре угла. Противоположные углы называются вертикальными углами и равны друг другу.

3. Треугольник

Треугольником называется фигура, в которой три точки, не лежащие на одной прямой, соединены отрезками. Отрезки называются сторонами треугольника, а точки — вершинами. Каждый треугольник обладает тем свойством, что сумма всех его углов равна 180 градусам.

4. Прямоугольный треугольник

Некоторые треугольники бывают такими, что один из их углов равен 90 градусов (тогда оба других угла — меньше 90 градусов). Такие треугольники называются прямоугольными. Две стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами, а оставшаяся третья сторона — гипотенузой.

Свойства прямоугольных треугольников особые, в них есть различные взаимосвязи.

5. Теорема Пифагора

Теорема Пифагора уже рассматривалась в одном из предыдущих выпусков. Она заключается в том, что длины сторон прямоугольного треугольника не могут быть любыми, а связаны соотношением: квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

6. Понятие тангенса

Кроме теоремы Пифагора, длины сторон связаны ещё разными способами. В частности, оказывается, что отношение длин двух катетов не зависит от размеров и ориентации треугольника, а зависит только от угла при одном из катетов. Поэтому отношение этих длин называется тангенсом этого угла. В зависимости от того, какой угол берётся за основу, отношение берётся в ту или иную сторону. Конкретно, тангенс есть отношение длины противолежащего катета к прилежащему.

Объясняющая картинка

Приведённых выше школьных знаний вполне достаточно для того, чтобы построить формулы для нужных нам преобразований.

Вот картинка:

На ней изображено две системы координат, с чёрными осями и с голубыми. Координата снизу вверх — это направление юг-север, а координата слева-направо — это направление запад-восток. Одна из систем повёрнута относительно другой на небольшой угол α.

Независимо от систем координат, на земле есть точка А. Её координаты вчёрной системе равны (x,t). Координаты той же точки вголубой системе равны (x’, t’). Нам нужно получить формулы, при помощи которых, зная координаты (x,t) и угол α (это у насдано ), мы могли бы получить координаты (x’, t’).

Некоторые замечания по картинке

Видно, что на рисунке образуется ряд прямоуголных треугольников, свойства которых мы используем.

Во всех этих треугольниках присутствует угол, равный α. Почему? То, что угол ДОЕ равен α нам известно по условию задачи. Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, а у прямоуголниго треугольника один угол всегда равен 90 градусам, то остаётся только 90 остаточных градусов, которые могут распределяться между двумя остальными углами треугольника. Отсюда следует, что угол ДЕО равен 90-α. Соответственно, угол ГЕА тоже равен 90-α, потому что он вертикальный для ДЕО. Откуда, в свою очередь, следует, что угода ГАЕ равен α.

Совершенно аналогично доказывается равенство α всех остальных углов, обозначенных на рисунке.

Поскольку племена использовали для измерения расстояний юг-север священные единицы, а не метры, то их ещё надо перевести в метры домножением на коэффициент c. Получающиеся длины отрезков помечены на рисунке.

Роль тангенса в расчётах

Как мы только что видели, тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему, в треугольнике, один из углов которого рассматривается. Рассмотрим треугольник ДОЕ. Мы увидим, что один из его углов — это α, угол поворота. Угол поворота характеризует отличие системы координат одного племени от системы координат другого племени. Но у угла есть тангенс. Тангенс тоже может характеризовать различие между двумя системами координат. Поскольку для каждого угла есть свой тангенс, то тангенс угла характеризует поворот ничуть не хуже, чем сам угол.

Посмотрим на треугольник ДОЕ.

Если еретик применяет свои традиционные единицы, то сторона ДО этого треугольника будет измерена в священных единицах, а сторона ДЕ — в метрах. Поэтому, если еретик будет рассчитывать тангенс по своим данным, то он получит неправильное значение, которое мы обозначим черезv. Чтобы получить из этого неправильного значения правильное, ему надо учесть следующее равенство

Из которого следует, что чтобы получить тангенс, ему надо неправильное значение v разделить на коэффициент c перевода священных единиц в метры:

Задача

В дальнейшем мы будем предполагать, что все отрезки, обозначаемые буквами, представлены в правильных единицах, в метрах. Координаты по вертикальным осям t и t’ представлены в священных единицах, то есть их ещё надо в метры перевести (путём домножения на c), а координаты x и x’ изначально представлены в метрах.

Нашей задачей будет, зная нештрихованные координаты точки А, рассчитать её штрихованные координаты. То есть, зная координаты точки А в неповёрнутой системе координат (чёрный цвет на рисунке), рассчитать её же координаты в повёрнутой (голубой цвет).

Расчёт несвященной координаты

Поставим целью вычислить x‘, то есть, длину отрезка ГА на рисунке.

Будем постепенно подбираться к вычислению этого отрезка по цепочке, начиная с отрезка ДО, то есть ct.

Сначала, зная ct, выразим длину отрезка ДЕ. Для этого используем определение тангенса для угла ЕОД, который равен α:

Откуда получим длину отрезка ДЕ, домножив обе стороны равенства на ct:

(1)

Зная длину отрезка ДЕ, мы можем получить длину отрезка ЕА, поскольку

откуда, перенося ненужные части в правую часть

то есть, подставляя сюда выражение для ДЕ из формулы (1), получим

Если бы мы знали длину отрезка ГЕ, то смогли бы выразить результат из теоремы Пифагора в треугольнике ГЕА (учтём, что ГА = x’):

(2)

В этом выражении мы не знаем длину ГЕ, но её можно выразить через тангенс угла ГАЕ, который равен α:

Откуда

Мы теперь можем подставить известные нам длины ГЕ и ЕА в выражение (2), что даст

Теперь заменим tg (α) на v/c чтобы использовать привычные для племён единицы, что нам даст

И выразим отсюда координату

Если эту формулу немножко преобразовать, а именно, принудительно вынеся c² в знаменателе за скобки, убрав квадра при выносе из-под корня и сократив с c в числителе, то получится чем-то знакомое выражение:

Эта формула предназначена для вычисление несвященной координаты в повёрнутой системе координат при условии, что нам известны обе координаты (священная и несвященная) в неповёрнутой системе координат. При этом:

x’	искомое значение, несвященная координата точки А в повёрнутой системе, выраженная в метрах
x	несвященная координата точки А в неповёрнутой системе, выраженная в метрах
t	священная координата точки А, измеренная в вёрстах
v	тангенс угла поворота одной системы координат в другой, выраженный в метрах на версту
c	коэффициент перевода священных вёрст в метры, в метрах на версту

Расчёт священной координаты

Сначала получим длину отрезка ВЖ из выражения тангенса для угла ЖАВ, который равен α (учтём, что АВ=ct) :

откуда

Зная этот отрезок, мы можем узнать длину отрезка АЖ исходя из теоремы Пифагора для треугольника АВЖ:

Подставляя сюда ВЖ из предыдущего выражения, получим

Зная выражение для квадрата длины, легко можно получить саму длину, если извлечь корень

Отрезок АЖ представляет собой часть искомого нами отрезка, оставшаяся часть которого — это БЖ. Длину БЖ можно рассчитать из определения тангенса угла ЖОБ, который равен α:

откуда

В итоге, имея (см. рисунок справа, где АБ = ct’)

мы можем подставить сюда полученные нами АЖ и БЖ и получить

Здесь мы должны опять заменить tg(α) на v/c и тогда получится

В этой формуле содержится неизвестное x’, которое мы как раз рассчитывали в предыдущем разделе (это несвященная координата). Так что поставим её оттуда и получим несколько громоздкую формулу

которая после упрощений превращается в

t’=

Здесь также можно принудительно вынести c за скобки как в числителе, так и в знаменателе, что нам даст опять странно знакомую форумулу

t’	искомое значение, священная координата точки А в повёрнутой системе, выраженная в вёрстах
x	несвященная координата точки А в неповёрнутой системе, выраженная в метрах
t	священная координата точки А, измеренная в вёрстах
v	тангенс угла поворота одной системы координат в другой, выраженный в метрах на версту
c	коэффициент перевода священных вёрст в метры, в метрах на версту

Выводы

Математические формулы, выражающие преобразования Лоренца, полученные нами в предыдущих выпусках, очень похожи на математические формулы, выражающие преобразования координат при повороте системы отсчёта вокруг начала координат, когда одна координата измеряется не в тех же единицах, что и другая.

Преобразования Лоренца	Преобразования поворота

Отличия заключются в том, что кое-гдеперепутаны знаки, плюс заменён на минус и наоборот.

Это совпадение неспроста. На самом деле, есть глубокая аналогия между механическими понятиями и геометрическими понятиями из мира двух племён. Есть возможность расшифровать, таким образом, наши механические поняти, используя то, что мы узнали из мира племён.

Приведём краткий словарь:

Наш мир, механика	Расшифровка
Пространство	Несвященная координата, измеряемая метрами
Время	Священная координата, измеряемая в священных единицах, секундах
Равномерное движение	Поворот системы координат в плоскости пространство-время
Скорость движения	Тангенс угла поворота в плоскости пространство-время, являющийся отношением пространственного катета (метры) к временнОму катету (секунды)
Скорость света	Коэффициент для перевода времени в метры
Преобразования Лоренца	Преобразования координат при повороте системы отсчёта в плоскости пространство-время

Хотя, как многие догадались, между механикой и геометрией мира двух племён, есть и отличия. Замена некоторых плюсов на минусы неслучайна, она связана с тем, что геометрическое пространство подчиняется тригонометрическим законам, а пространство-время — гиперболическим.

В дальнейшем мы познакомимся с этим отличием поближе.

Всё.

Димс.

< Предыдущая		Следующая >