Тензоры

Теория Относительности | http://relativity.ru | editor@relativity.ru

21.08.2006
Обсудить выпуск на форуме >>

Выпуск от Архитектора.

Сколько-нибудь подробное изложение Теории относительности немыслимо без применения тензорного математического аппарата. Если не вводя тензоров можно сносно описать СТО, то ОТО – совершенно нереально. Поэтому мы не будем откладывать изучение тензоров в долгий ящик и начнем вводить тензорный аппарат уже в СТО. Это позволит не только расширить ее область применения (в частности, на любые, не только инерциальные, системы отсчета), но и покажет нам всю красоту и лаконичность эйнштейновской теории.

Понятие тензора

При первом знакомстве с тензорным исчислением легко встретить барьер – не совсем понятно на интуитивном уровне, что такое тензор вообще и что принято считать тензором, а что — нет? Дело в том, что самые простейшие тензоры, скаляры и векторы, являются хорошо представимыми объектами. Каждый из нас наверняка имел с ними дело в школе. Однако тензоры второго ранга и выше являются объектами посложнее и вызывают затруднения: как их лучше себе представить и какой физический смысл они несут?

Итак, чтобы понять, о чем речь, дадим простое (словесное) понятие тензора. Прежде всего, тензором описывается некоторое свойство физического объекта, обычно настолько сложное, что требует нескольких числовых характеристик.

img01

Рис.1 – Некий объект.

Сразу приведем примеры из классической механики:

  • тензор потенциала гравитационного поля (содержит одно число, это скаляр);

  • тензор ускорения (содержит три числа – проекции на три пространственные оси, это вектор);

  • тензор электромагнитного поля (содержит проекции двух векторов поля на три пространственные оси и еще кое-что, это тензор 2-го ранга).

Я не зря пишу слово «содержит». Тензор не является простой совокупностью чисел (матрицей). Числа тензора – это его компоненты, они завязаны друг с другом. Вытаскивать компоненту из тензора и использовать ее в дальнейших расчетах некорректно. Это противоречит идеологии тензорного исчисления (о ней – позже). Тензор – целостный математический объект. Его компоненты подчиняются некому «закону сохранения тензора», который не дает тензору «рассыпаться» на компоненты.

img02

Рис.2 – Тензор «весь в себе».

В чем же особенность тензора? Из приведенных выше примеров нетрудно сделать вывод, что компоненты тензора получают семантику и численные значения только тогда, когда выбрана система координат. Однако мы знаем, что систем координат (СК) может быть введено множество, а физическая величина (например, сила тяги автомобиля) одна на всех. Часто необходимо (особенно в СТО) определять компоненты тензора в нескольких СК. Обычно при этом дано правило перехода из одной СК в другую. Если компоненты тензора вычислены в одной СК, то как определить их аналоги в другой? Тензорное исчисление дает на это изящный ответ: все компоненты тензора преобразуются по общему тензорному правилу независимо от их физического смысла! И векторы силы, и векторы магнитного поля, и градиенты потенциальных полей – все они одинаково преобразуются! Это значит, что, назвав компонентную матрицу тензором, мы приписываем ей правило преобразования при смене СК. Точнее, не само правило (оно общее для всех тензоров), а способность сохранять физический смысл при таком преобразовании в «новой» СК. Это – важнейшее свойство всех тензоров.

img03

Рис.3 – Сущность тензора одна, а явления (координаты) разные.
Но не произвольные, а взаимозависимые!

Именно таким образом проверяется тензорный характер физической величины. Например, определим, что есть скаляр в СТО. Скаляром называют тензор 0-го ранга. Правило преобразования для скаляра таково, что его единственная компонента не меняется (инвариантна) при смене СК. То есть скаляром можно назвать массу покоя – она инвариантна для конкретного тела в любой СК. А вот релятивистская масса – не скаляр, она преобразуется по нетензорном закону! Но можно предположить, что релятивистская масса входит в какой-нибудь тензор как компонента (это нулевая компонента вектора энергии-импульса).

Итак, обобщим. Тензор:

1) это целостный математический объект;

2) при выборе СК он получает численные компоненты;

3) преобразуется по общему тензорному закону.

Идеология тензорного исчисления

Мы дошли до самой сути тензоров. На мой взгляд, основной причиной их популярности в Теории относительности является как раз единый закон их преобразования. Почему?

Для иллюстрации приведем символический вид уравнения Эйнштейна из ОТО:

ТЕНЗОР_А + скаляр_1 * ТЕНЗОР_В = скаляр_2 * ТЕНЗОР_С

Эта формула является тензорной. Все тензорные уравнения замечательны тем, что их вид не меняется при смене СК. Это очень просто доказать: обе части уравнения преобразуются по одному и тому же закону, а значит преобразования взаимно сокращаются, и формула остается в прежнем виде.

Таким образом, тензорное исчисление позволяет избежать нежелательных эффектов, связанных с неудачным выбором СК, и проникнуть в саму суть физических законов, которые отныне записаны в независимом от СК виде.

Именно поэтому тензоры нашли самое широкое применение в ОТО, т.е. там, где требовалось выявить общие, универсальные законы физики, которые будут справедливы в любой СК. Это важное свойство ОТО-шных уравнений называют общей ковариантностью.

В качестве примера хотелось бы привести споры о «релятивистской массе». Один из доводов против принятия релятивистской массы как истинной массы тела заключается в том, что использовать компоненту вектора энергии-импульса отдельно от самого вектора некорректно. Любые тензорные уравнения с одной лишь 0-й компонентой вектора будут различны в разных СК. Теряется смысл использования тензорного матаппарата. Однако масса покоя является скаляром и поэтому может без ограничений входить в ковариантные тензорные уравнения.

Системы координат

Чтобы иметь возможность описать некоторое n-мерное пространство надо задать на нем систему координат. Сначала мы познакомимся с простейшими декартовы координатами, с помощью которых опишем наше 3-мерное пространство.

Декартова СК задается началом координат (точка О) и набором взаимно перпендикулярных координатных векторов или орт (e1, e2, e3). Орты образуют репер – набор измерительных векторов. Орты характеризуются так же тем, что они нормированы на единицу.

Этому определению эквивалентно следующее (более строгое): скалярное произведение двух различных орт будет равно 0 (признак ортогональности), а скалярное произведение орты саму на себя будет равно 1 (признак нормированности).

img04

Рис. 4

В общем случае, СК может быть задана с большим произволом. Координатные векторы могут быть не ортогональны, а их длина может отличаться от единичной. Тем не менее, такими координатами тоже можно пользоваться. Еще более сложными являются криволинейные координаты, где на все пространство приходится бесконечное число различных реперов – по одному реперу на каждую бесконечно малую окрестность пространства. Таким образом, локально можно пользоваться одним репером, но глобально приходится интегрировать.

Ортонормированные координаты являются особым выделенным подклассом всех СК, они описывают пространство наиболее простыми уравнениями. В этом смысле они эквивалентны инерциальным системам отсчета в СТО.

Здесь я хотел бы сделать замечание. Ясно, что никоим образом невозможно наложить декартовы координаты на сферу. Произвол выбора СК зависит и от топологии самого пространства. Накладывая криволинейную сетку координат на поверхность стола, мы не сделаем ее искривленной. Здесь как раз появляется необходимость отличать координатные эффекты от физических. Координаты говорят, что пространство как будто бы по внешнему виду похоже на искривленное, но физика говорит обратное, она «зрит в корень». Если неким преобразованием координат можно упростить внешний вид тензорных уравнений, то их былая сложность являлась координатным эффектом. Но пространство может быть искривленным изначально (как поверхность сферы) и никакая координатная сетка не нем не приведет тензорные уравнения этого пространства к наиболее простым.

Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать плоские (неискривленные) пространства, но под различным углом, т.е. в различных СК.

Преобразование системы координат

Допустим, мы хотим построить новую декартову СК, определенным образом связанную со старой. Это значит, что надо задать преобразование старой СК в новую. Когда мы преобразуем СК, реальный физический мир, который мы с помощью данных СК описываем, не изменяется. Но меняется его координатное представление. Если реальный мир описывается тензорами, то преобразуются компоненты тензоров. Закон преобразования тензоров вытекает из закона преобразования системы координат.

Преобразование необходимо как-то задать. Это можно сделать следующим образом: выразить каждый базисный вектор новой СК через базисные векторы старой СК как их линейную комбинацию. В общем виде это может быть записано так:

img05

где П – коэффициенты преобразования. Из коэффициентов можно составить матрицу преобразования:

img06

Эта матрица так же является тензором, который задан в текущей СК. Запишем наше преобразование в более компактной форме. Выразим каждый i-й «новый» базисный вектор как линейную комбинацию j-х «старых» базисных векторов:

img07
i=1, 2, 3.

Эта формула напоминает правило перемножения 1- и 2-мерных матриц. Действительно, если поместить базисные векторы в матрицу E, то можно записать следующее:

img08

Теперь необходимо выяснить, как будет выглядеть обратное преобразование, которое превратит новую СК обратно в старую. То есть:

img09
i=1, 2, 3.

Это преобразование Т описывается обратной матрицей по отношению к П. Действительно, комбинация (произведение) прямого и обратного преобразования вернет нас к первоначальному реперу. В нашем случае ортонормированных преобразований обратная матрица получается путем простого транспонирования (примем это без доказательств):

img10

Или более компактно:

img11
i=1, 2, 3;
j
=1, 2, 3.

Мы просто поменяли местами индексы тензора П, тем самым транспонировали его и получили новый тензор Т.

Примеры ортогональных преобразований

Ортогональные преобразования должны сохранять длину и угол между ортами. Таких преобразований существует всего два вида: перенос начала координат и вращение базиса.

Мы не будем подробно останавливаться на переносе. Нам это преобразование практически не нужно ввиду того, что в физике обычно рассматриваются приращения и дифференциалы тензоров, либо локальные тензоры.

При вращении орты нового базиса будут повернуты на определенный угол по отношению к старому базису. Рассмотрим двумерный случай:

img12

Рис.5

img13

Тензор этого преобразования будет следующим:

img14

Обратное преобразование, как легко убедиться, будет выглядеть так:

img15

Тензоры

Любой тензор характеризуется рангом (или сложностью, информативностью) и мерностью (количеством измерений пространства, степенью свободы). Ранг тензора непосредственно связан с его смысловым содержанием и той ролью, которую тензор играет в физических формулах. А вот мерность является следствием количества измерений СК (число базисных векторов). Например, в СТО мы имеем право рассматривать процессы в 1-мерном пространстве, отбрасывая 2 других измерения, если в них движения нет. При этом вид тензорных формул не меняется. Если возвести мерность тензора в степень, равную его рангу, то мы получим число его компонент.

Тензоры 1-го ранга в декартовых СК

Простейшим тензором (если не считать скаляр) является вектор. В 3-мерном пространстве вектор имеет три компоненты – это величины его проекции на три координатные оси:

img16

Вектор раскладывается по базису следующим образом:

img17

В декартовом пространстве есть правило скалярного произведения векторов. Из него в частности следует, что произведение любого вектора пространства на i-й базисный вектор даст величину проекции на данную базисную ось, т.е. i-ю компоненту:

img18
i=1, 2, 3.

Это легко доказать, если вспомнить как скалярно умножаются орты.

Преобразование тензоров 1-го ранга

Мы уже писали, что преобразование П переводит нас в другую систему координат. Но П можно интерпретировать и по-другому. Можно представить, что после преобразования мы остались в той же СК, но определенным образом изменился окружающий мир. Как будто бы П изменил все тензорные и иные величины.

Кстати, такая интерпретация тензора П как оператора над другими тензорами придает ему смысл линейного оператора.

Осталось лишь определить, как именно преобразуются векторы. Запишем формулу для «новых» компонент вектора x:

img19

Теперь подставим в эту формулу вместо векторов «нового» репера их выражение через «старый» репер и получим для каждого i-го компонента:

img20

Если мы внесем вектор x под знак суммы, то ничего не изменится:

img21

img22

Таким образом, мы получили, что компоненты вектора x преобразуются так же, как векторы репера ei.

img23

img24

В матричной форме это выглядит следующим образом:

img25

Итак, преобразование репера и векторов описывается одной и той же матрицей. «Как же так?» — скажете вы. «Ведь если мы повернем СК по часовой стрелке, то все векторы пространства должны повернуться против. Неужели поворот по часовой стрелке и поворот против – одно и то же преобразование?!». Действительно, одно и то же преобразование при воздействии на целый репер поворачивает его в одну сторону, а при воздействии на координаты отдельного вектора – в противоположную. Рассмотрим небольшой пример.

Пример преобразования

Допустим, в декартовой СК задан вектор x с координатами (3;0). Какими будут его координаты в «новой» СК, полученной из «старой» поворотом на ?=90 градусов по часовой стрелке?

img26

Рис.6

Для начала составим матрицу преобразования:

img27

Теперь по правилам произведения матриц преобразуем наш вектор x:

img28

Из рисунка видно, что мы не ошиблись.

Резюме

Итак, на этом мы закончим первое знакомство с тензорами. Следующим шагом будет изучение тензоров 2-го ранга и выше, операций над ними и метрических пространств, в частности, евклидового и псевдоевклидового.

* * *

Некоторые пояснения

Скалярное произведение — это способ получения из пары векторов скаляра. Скалярное произведение равно произведению модулей (длин) векторов на косинус угла между ними.

Например, скалярное произведение двух различных орт всегда равно нулю, т.к. угол между ними 90 градусов; а скалярное произведение любого вектора сам на себя даст квадрат его длины.

Длина вектора. Мы несколько забежали вперед, потому что понятие длины в векторном пространстве требует особого определения. В декартовом пространстве длина вектора равна сумме квадратов его компонент. Длина вектора есть скаляр (тензор 0-го ранга) и инвариантна, в отличие от его координат.

Индексы тензора. Чтобы выделить из тензора компоненту, их индексируют. Число индексов тензора определяет его ранг. Индексы обозначают буквами i, j, k и т.д. Не имеет значения, какой именно буквой обозначить индекс. Например, не важно, обозначим мы репер как ei или ej. но следует соблюдать осторожность. Если в одном месте тензор обозначен как Xij, а в другом – как Xji, то они будут трактоваться как взаимно транспонированные тензоры.

Тензорные формулы очень компактны, т.к. записаны в общем виде для каждой компоненты тензоров. Например, формула

Xi = Yi + Zi

понимается как: «Каждая i-я компонента тензора X равна сумме i-x компонент тензоров Y и Z». Т.е. под одной формулой подразумевается сразу несколько – для каждой i-й компоненты тензора X. Количество уравнений будет равно в данном случае мерности тензоров. Здесь как раз и нужно следить за тем, чтобы буква «в обозначении индекса повторялась у всех трех тензоров!

Обсудить выпуск на форуме >>

Архитектор.


Внимание! В рассылке могут использоваться рисунки и формулы. Если Вы их не видите, то просмотрите письмо, подключившись к интернету on-line, либо проследуйте на сайт в архив рассылок.


Теория Относительности | http://relativity.ru | editor@relativity.ru