Координаты и их преобразования

Колонка редактора

Приглашаю всех посетить (и поучаствовать в деле) сайт http://www.photosight.ru. На нём все желающие оставляют сделанные ими фотографии, составляют фотоальбомы, оценивают и комментируют друг друга. Есть очень много интересных авторов, например ruslik_G. Не премину похвастаться также и своим скромным вкладом.

Содержание

Введение

В одном из ближайших выпусков я хочу рассказать о математическом выводе преобразований Лоренца, чтобы, наконец, начать двигаться дальше простейших парадоксов. Но прежде всего я должен рассказать о координатном методе, а заодно о том, что такое матрицы. К сожалению, нельзя объяснить, что такое матрица, ты должен увидеть это сам… Ой, о чём это я? 🙂

В общем, о координатах все знают, но я уверен, что не всё. Я постараюсь рассказать о главном, что составляет метод координат и постараюсь поменьше болтать об общеизвестном. Будьте осторожны — главное часто скрывается под маской банального! 🙂

Небольшой земельный участок

Сначала я должен сказать сакраментальную фразукоординаты возникли очень давно . Затем, я должен объяснить, что они возникли из-за того, что человеку было нужно измерять земельные участки и что в результате этой потребности возникла даже целая наука — геометрия. А вы мне ответите, что это всем известно, так как рассказывается в школе. И хотя даже в наши дни появление человека с теодолитом может предвещать ужасное — скорый снос вашего жилища — всё же вы будете правы, это не очень интересно.

Но я все-таки хотел бы настоять на том, чтобы мы немного рассмотрели координатный метод, так как на нём основана почти вся механика, а в особенности — прекраснейшее здание общей теории относительности.

Итак, первое, о чём я хочу всем напомнить, что геометрия в переводе означаетземлемерие и, таким образом, является не разделом школьной математики, а древнейшим разделом физики. Да, да! Занятием геометрии было измерять, а измерения — это физика. Меряли землемеры, естественно, землю. Иными словами, подчеркиваю, что измерение земли, расстояний между точками на земле, длин отрезков, фиксация расположения различных ориентиров и т.п. — всё это примеры древнейших физических экспериментов.

Геометрия — это не часть математики, геометрия — это часть физики. Геометрическая теорема Пифагора, о которой мы уже говорили — это не математическая теорема, а физический закон!

Что же имеется в расположении землемера? Некоторый участок земли.

Я представил этот небольшой участок следующим образом:

На участке есть пять предметов:


Сарай


Ёлка


Место для костра


Клён


Колодец

Представим, что мы хотим математическим образом передать друзьям информацию о том, где на нашем участке расположены эти пять предметов. Ясно, что поскольку язык передачи будет математическим, то мы должны каким-то образом преобразовать информацию о местоположениях предметов в цифровую форму. То есть, наши друзья получат шифровку — таблицу из цифр. Чтобы её расшифровать, то есть, чтобы понять, что означают эти цифры, и мы и они должны пользоваться одним и тем же ключом.

Почему? И что это за ключ такой?

Ответ на первый вопрос: потому, что способов зашифровки местоположений может быть бесчисленное множество. Ответ на второй вопрос: ключ — это система координат.

Поскольку ключей, то есть, систем координат, может быть очень много, то мы можем, для сохранения секретности, каждую неделю менять ключ, то есть, способ перевода местоположений в цифры.

Рассмотрим две версии шифрования.

Прямоугольные (декартовы) координаты

Чтобы ввести прямоугольные координаты, нужно договориться о следующих вещах: (1) где расположено начало координат (илицентр координат , илинулевая точка ) и (2) куда направлена первая ось (абсцисса) и (3) куда направлена вторая ось (ордината).

Давайте выберем за начало координат расположение места для костра, за направление первой оси — направление на север, а за направление второй оси — направление на восток.

Предположим, аэрофотография нашего участка такова:

Причём север находится точно сверху, а восток — точно справа.

Как же использовать эти договоренности для шифрования местоположений? При помощи следующих действий. Чтобы зашифровать расположение, например, колодца, нужно (1) дойти до колодца от места для костра (начало координат) и при этом (2) разрешается ходить только на север (или на юг) и на восток (или на запад). Кроме того, необходимо измерить пройденное расстояние в метрах, раздельно, сколько на север, сколько на восток.

Эти правила дают для колодца результат:

Иными словами, следуя указанным правилам, нужно от места для костра пройти 8,6 метров на север и 1 метр на запад. Можно условиться считать пройденное расстояние на запад — отрицательным расстоянием, пройденным на восток. Аналогично с югом. Кроме того, можно условиться, что первым указывается расстояние, пройденное на север. Тогда получится, что координаты колодца равны {8,6 ; 1,0}.

Всё, система координат введена. Как, уже? Когда?

Иногда думают, что система координат — это оси или сетка, которая проведена на земле, но это не так. Система координат — этопросто набор правил, которые в принципе позволяют получить координаты любого объекта, а имея координаты — получить местоположение объекта.

Разумеется, никто нам не мешает расчертить метровыми клетками весь наш участок и определять координаты по этой сетке, например, так:

Красными линиями обозначены направления на север и восток. Видно, что координаты колодца — чуть больше восьми с половиной клеток на север и одна клетка на запад.

Если на участке проведена сетка, то получается тоже набор правил для определения координат объекта, только другой — без ходьбы по-солдатски, а с сеткой. Но координаты по этому другому набору правил получаются такие же. Такие системы координат называются эквивалентными.

Это приводит нас к следующему заключению: координаты — это, конечно, не сетка; но в некоторых случаях, для наглядности, их можно представлять, как сетку, потому что сетка — это один из эквивалентных способов определения координат.

В древности, во время морских путешествий, для определения координат приходилось пользоваться сложными правилами, связанными с определением местоположения звёзд на небе. Эти правила были далеки от сетки. В наши дни уже существуют системы спутникового позиционирования (GPS), которые автоматически выдают готовые координаты. Этот способ определения координат уже можно считать прочерченной по всей Земле сеткой.

Полярные координаты

Разумеется, не все способы определения координат эквивалентны. Некоторые могут давать другие числа. Например, в вышеописанном способе можно мерять расстояние не в метрах, а в локтях. А направление на север определять не по компасу, а по направлению на полярную звезду (как известно, географический и магнитный полюса Земли не совпадают).

Но кроме такихкосметических модификаций метода, возможны и вообще принципиально другие способы введения координат, например, полярные координаты.

По этому методу тоже нужно выбрать (1) начало координат и (2) направление оси, но только одной. Кроме того, нужно условиться о (3) направлении вращения — по часовой стрелке или против.

Если за направление оси выбрано направление на север, а за направление вращения — вращение по часовой стрелке, то в качестве первой координаты можно использовать азимут, то есть угол в градусах между направлением на север и на описываемый объект. А в качестве второй координаты можно использовать расстояние в метрах по прямой между объектом и началом координат.

Поскольку теперь мы знаем, что описанный метод определения координат эквивалентен некоторой сетке, то я сразу привожу эту сетку:

Эта сетка состоит из радиальных линий, проведенных с интервалом в 5 градусов и концентрических окружностей, проведенных с интервалом в 1 метр. Красной линией показано направление на север.

Видно, что координаты колодца составляют примерно {7; 8,65}. Разумеется, из рисунка не видно, что расстояние до колодца равно 8,65 метров, но я добавил 0,05 метра, чтобы получилось число, отличающееся от числа 8,6 в декартовых координатах.

Не забывайте, что данная сетка не является самой системой координат — она лишь её символизирует. Самой системой координат является набор правил (встать на место для костра, определить азимут объекта, записать, измерить расстояние до объекта по прямой, записать).

Как видите, вообще, числа по двум системам координат — разные. Но координата 8,65 все-таки по каким-то причинам близка к координате 8,6.

Преобразования координат

В нижеследующей таблице приведены координаты всех пяти объектов, вычисленные двумя вышеописанными способами.

Объект Координаты
Декартовы Полярные
Сарай -16; 12,5 -52,18; 20,30
Ёлка -30; 20 -56,44; 36,06
Место для костра 0; 0 0
Клён -14; -2 97,98; 14,14
Колодец -1,075; 8,622 7,3; 8,69

Координаты колодца слегка отличаются от тех, что были в тексте. Это потому, что колодец у меня съехал. 🙂

Как видно, цифры совершенно разные.

С одной стороны это понятно — ведь мы как раз использовали понятие шифра для объяснения того, что такое координаты. Соответственно, раз у нас тут шифр, то могут быть разные шифровальные ключи — способы введения координат, и, как следствие, разные шифрованные сообщения.

Однако, с другой стороны, возникает интересный вопрос. Шифр хорош, когда требуется передать засекреченную информацию. А когда секретить нечего, то шифр превращается в неудобство — сначала надо шифровать, потом расшифровывать.

Нельзя ли как-то обойтись без шифрования и сохранить информацию о местоположениях в открытом виде? Ответ тут такой: фактически нельзя! Хотя физики и математики придумали замечательный способ, как иногда тут можно обходиться без шифрования, тем не менее, в общем случае, приходится признать: без шифрования обойтись нельзя.

Создаётся впечатление, что во Вселенной действует какое-то специальное вселенское ФАПСИ и это ведомство требует, чтобы информацию о местоположениях тел всегда передавали в зашифрованном виде! Словно эта информация составляет вселенскую тайну и её нельзя передавать как попало!

Если мы хотим передать информацию о местоположении сарая на нашем участке, то мы обязаны выбрать ту или иную систему координат и превратить чёткое и ясное воспоминание о том, где находится сарай, в ужасные ненаглядные цифры {-16; 12,5} или хотя бы {-52,18; 20,30}! У нас есть свобода выбрать ту или иную систему координат. Но у нас нет свободы её не выбирать!

Обязанность, которую, к тому же, ты брал на себя не сам — пренеприятнейшая штука, не так ли? Начнём же постепенно избавляться от неё!

Первое, над чем стоит задуматься: а есть ли между координатами из разных систем какая-то связь? Математики и физики для обозначения различных взаимосвязей используют понятие функции. Если одна величина зависит от другой, то они говорят, то первая является функцией последней.

Так вот, на математическом языке вопрос стоит так: существует ли и какова, если существует, функция преобразования из одних координат в другие?

Тригонометрические функции

На этом мультике нарисован объект (красный кружочек), который вращается по окружности радиусом 1 метр. Его полярные координаты меняются следующим образом: расстояние до объекта всегда равно 1-му метру, а угол направления циклически меняется от 0 до 360 градусов. Текущий угол направления на объект показан в виде числа, указанного возле самого объекта.

Наряду с полярными, у данного объекта определяются и прямоугольные координаты. Они показаны возле зелёных линий прямоугольных проекций. Прямоугольные координаты обе меняются от -1 до +1.

Как вы думаете, связаны ли прямоугольные координаты с полярными? Могут ли для одних и тех же полярных координат получиться различные прямоугольные? Ответ: нет. Вы можете сами у себя дома на листе бумаги нарисовать циркулем окружность и убедиться, что прямоугольные координаты любой точки на ней будут выражаться в единицах радиуса окружности теми же числами.

Эти числа обнаружены довольно давно и до изобретения компьютеров калькуляторов они публиковались в специальных таблицах, вот примерно таких:

угол первая вторая
0 1,00 0,00
10 0,98 0,17
20 0,94 0,34
30 0,87 0,50
40 0,77 0,64
50 0,64 0,77
60 0,50 0,87
70 0,34 0,94
80 0,17 0,98
90 0,00 1,00
100 -0,17 0,98
110 -0,34 0,94
120 -0,50 0,87
130 -0,64 0,77
140 -0,77 0,64
150 -0,87 0,50
160 -0,94 0,34
170 -0,98 0,17
угол первая вторая
180 -1,00 0,00
190 -0,98 -0,17
200 -0,94 -0,34
210 -0,87 -0,50
220 -0,77 -0,64
230 -0,64 -0,77
240 -0,50 -0,87
250 -0,34 -0,94
260 -0,17 -0,98
270 0,00 -1,00
280 0,17 -0,98
290 0,34 -0,94
300 0,50 -0,87
310 0,64 -0,77
320 0,77 -0,64
330 0,87 -0,50
340 0,94 -0,34
350 0,98 -0,17

Математики придумали для соответствия между полярным углом и первой координатой (на мультике — по горизонтальной оси) названиефункция косинуса , а для второй координаты (на мультике — по вертикальной оси) названиефункция синуса .

Видите, в чём фокус? Многие думают, что взаимосвязь между полярными и прямоугольными координатами описывается при помощи математических функций косинуса и синуса. Но это неправда! Сами функции косинуса и синуса — это просто аккумулированное человечеством знание о пространственных свойствах поверхности земли (или поверхности листа бумаги)! Так что думать, что взаимосвязь между означенными координатами описывается такими-то функциями (илиподчиняется им), разделяя их у себя в воображении, не всегда корректно. На самом деле нужно помнить только, что зависимость есть и что она хорошо известна. А ответа на вопрос почему она такова — на самом деле нет. Это — опытный факт.

Формулы

Из школьной геометрии хорошо известны следующие формулы преобразования от полярных координат к прямоугольным:

x = r cos φ
y = r sin φ

Здесь буквами r и фи обозначены полярные координаты (расстояние до объекта от начала координат и угол направления на объект), а буквами x и y обозначены прямоугольные координаты объекта, первая и вторая.

Предполагается, что выбранное направление в полярных координатах совпадает с первым направлением (x) прямоугольных, также предполагаются совпадающими единицы для измерения расстояний.

cos и sin — это обозначения функций косинуса и синуса, а пропуски между r и этими обозначениями означают умножение.

То есть, для того, чтобы вычислить прямоугольные координаты из полярных, нужно взять полярный угол, посмотреть (вычислить) его косинус и синус, а потом умножить на расстояние до объекта по прямой.

Чтобы, имея прямоугольные координаты, получить расстояние по прямой, нужное для задания полярных координат, надо воспользоваться теоремой Пифагора:

r = sqrt( x^2 + y^2 )

Здесь sqrt — это обозначение функции квадратного корня, а ^2 — это обозначение возведения в квадрат.

Заключение

Геометрия — это не раздел математики, а древнейший раздел физики.

Система координат — это способ шифрования и расшифровывания информации о местоположении объектов в пространстве

Координаты кажутся необходимыми для точного описания природы, словно какое-то вселенское ведомство запрещает нам представлять информацию о местоположении объектов в открытой форме.

Однако, между координатами в различных системах существует связь. В частности, для перехода от полярных координат к прямоугольным можно использовать тригонометрические функции косинуса и синуса.

Функции косинуса и синуса — это не таинственные порождения абстрактной математики, а аккумулированный опыт человечества по изучению свойств нашего пространства, проявляющихся на различных поверхностях.

Для перехода от прямоугольных координат к полярным требуется теорема Пифагора.

***

Кажется, про матрицы я расскажу в следующем выпуске.

Удачи!