Линейные преобразования координат

Колонка редактора

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Как Вы думаете, каким будет образование через десятки лет? Станут ли школьники учиться в школах по пятнадцать лет, а студенты в ВУЗах по десять? Ведь накопленный человечеством объем знаний всё больше! Или возникнут какие-то новые технологии передачи знаний, наподобие описанных в фильме Матрица, когда необходимые знания просто закачиваются в мозг при помощи компьютера?

Я уверен, что развитие людей движется от худшего к лучшему. Я уверен, что в будущем будут постепенно преодолены все недостатки, характерные для сегодняшних реалий.

Поэтому, мне легко строить из себя Нострадамуса: я просто беру недостатки, и пытаюсь вообразить будущее без них.

Есть ли недостатки у современного образования, например, у школьного? Конечно, есть. Это и недостаточное финансирование и… Ла-ла-ла, бла-бла-бла. Но это не главное! Главный недостаток школы состоит в том, что знания передаются ученикам бесцельно, низачем. Ученик не может отказаться от тех предметов, которые ему не нужны, а если он просто поинтересуется у своих учителей, зачем нужно знать тот или иной предмет, то вразумительного ответа не услышит.

В результате, наряду со знаниями, ученикам прививается очень вредный навык — навык к бессмысленным действиям. Большинство окончивших школу, становятся добропорядочными членами общества, способными не задумываясь, из года в год, выполнять однообразные, не ведущие ни к какой цели действия: ходить на работу, выпонять указания, получать копеечную зарплату и так далее.

Мне кажется, этот недостаток явный и он перекрывает многочисленные достоинства школьного образования.

Поэтому, в соответствие с описанными выше принципами предсказаний, я делаю заключение, что школа будущего будет их лишена. В школе будущего учеников будут учить только тому, что надо.

Но как узнать, в начале многолетнего обучения, что понадобится растущему человеку в будущем? Это, кстати, один из аргументов тех, кто защищает современное образование. Ответ простой: никак. Это значит, что будущее растущего человека должно быть не в далёкомвпереди , а прямо здесь. Будущее должно наступать сразу!

Иными словами, никакого обособленного процесса обучения существовать не будет. Достигнув какого-то возраста, человек немедленно будет вступать во взрослую жизнь. Думаю, это будет семь-десять лет. Достигнув такого возраста, человек сразу будет начинать делать то, что ему хочется. И необходимые для этого знания он будет получать в процессе, именно в тот момент, когда эти знания необходимы.

Вспомните мечты первоклашек, стать космонавтами, актрисами, поэтами и так далее, которые обычно не доживают до окнчания школы. Так вот, все эти мечты будут осуществляться немедленно!

Помимо устранения недостатка бесцельности, описанное изменение системы образования несет в себе ещё и дополнительныйбонус . Дело в том, что обычно знания имеют тенденцию устаревать. Сколько ни зубри теорию тяготения Ньютона, сколько ни представляй, как яблоко падает тебе на голову, общей теории относительности Эйнштейна не изобретешь. То есть, жизнь всегда требует новых решений, новых открытий. Знание старого может помочь в получении нового, но не может заменить той работы мысли, которая к нему приводит.

Человек, существующий в системе образования будущего, будет с самого начала считать, что знания, даваемые ему системой — это лишь подмога, средство в достижении его целей. Поэтому обращаться к ним он будет не в своей цели, которая должна оставаться его целью, а в поисках ответов на вспомогательные, чужие, вопросы.

Например, художник, который хочет нарисовать что-то своё, не будет запрашивать знания живописи, так как он будет хотеть создать что-то своё. Но зато он запросит знания об изготовлении рамок или смешивании красок, так как не будет видеть своего в изобретении именно этого. Разумеется, тут возможны варианты.

Собственно, проекттеория отностиельности — это и есть проект такого образовательного курса, который потребляется только теми, кому он нужен.

Но я придумал и ещё один курс — по обучению языку HTML. Сначала я написал три урока и выложил их в бесплатный доступ. Мне не понравился эффект, который это произвело — были весьма положительные отзывы, но не было хорошей отдачи. Думаю, это связано сэффектом халявы . Поэтому я изменил структуру обучения и решил, что все последующие (после третьего) уроки должны быть платными, но, разумеется, не дорогими.

Курс обучения находится на странице http://html-for-free.relativity.ru, обучение сопряжено с интерактивным форумом, так что любой вопрос можно обсуждать. Первые три урока по-прежнему бесплатны. Для обучения необходимо зарегистрироваться.

Содержание

Самые простые преобразования координат

Теперь вернёмся к теории относительности. Это тоже своего рода курс обучения, но он останется бесплатным всегда, до самого конца, до самой последней запятой, в самом последнем уравнении ОТО 🙂

В прошлой рассылке мы увидели некоторое явление природы, которое я аллегорически назвалвселенским ФАПСИ : математическое описание мира неизбежно требует кодирования при помощи систем координат.

Чтобы преодолеть это требования, я рассказал о том, что надо изучать преобразования между различными системами координат, в надежде усмотреть здесь какую-то закономерность. Были показаны декартова и полярная системы и показано, по каким формулам переходить от координат в одной системе к координатам другой.

Правда, это нам ничего не дало.

Теперь рассмотрим случай более простых переходов между координатами. Если вспомнить формулы, которые у нас получились в прошлой рассылке, то они плохи тем, что в них встречаются всякие неприятные косинусы и корни. Хотелось бы для начала ограничиться преобразованиями, в которых используются операции попроще — сложение и умножение.

Как и в прошлый раз, преобразование между координатами должно задаваться двумя формулами — для одной и для другой конечной координаты, а в каждой формуле должны использоваться обе начальные координаты.

Сегодняшние формулы у нас будут такими:

x’ = a * x + b * y

y’ = c * x + d * y

В этих формулах буквами x’ и y’ обозначены конечные координаты, то есть, координаты в той системе, в которую мы переходим, а буквами x и y обозначены начальные координаты, то есть, координаты в той системе, из которой мы переходим.

Буквами a, b, c и d обозначены некоторые числа, которые нам просто сейчас не важны для рассмотрения. Они могут быть любыми, и от их выбора будет зависеть, в какую систему мы перейдём.

Например, если a = 1, b = 0, c = 0, d = 1, то мы никуда не перейдём, а останемся в старой системе координат. Иными словами, новые координаты будут такими же, что и старые.

Эти буквы называются параметрами преобразования.

Когда координаты преобразуются по приведённым выше формулам, то такое преобразование называетсялинейным . Этот вид преобразований — самый простой. И, к счастью для нас, многое в природе можно понять, зная только такие преобразования.

Геометрический смысл параметров

В прошлом выпуске мы рассмотрели две системы координат и я привёл формулы преобразований, по которым надо переходить между ними. Формулы оказались сложноватыми. Поэтому в этом выпуске мы сначала решили, какими мы хотим, чтобы были формулы (простыми, линейными), поэтому, мы пока не знаем, какие новые системы координат получаются при использовании этих формул.

Вот это-то мы и выясним сейчас.

Для того, чтобы представить себе, что происходит при преобразовании, воспользуемся обнаруженным в прошлом выпуске фактом, что любую систему координат можно свести к методу определения координат объектов по сетке, нанесённой на землю.

Поэтому мы будем рисовать систему координат в виде сетки. Когда над всеми координатами первой системы будет проделано линейное преобразование, получится новая система, и это выразится в том, что старая сетка превратится в новую.

Для превращения сетки достаточно взять координаты всех её узлов, провести над ними преобразование, получить новые координаты узлов и соединить их сеткой.

На нижеследующем мультике представлена сетка координат, которая изменяется под воздействием параметров, которые можно задавать.

Внимание! Если Вы не видите мультика, то просто следуйте по ссылке http://relativity.ru/images/swf/lineartransf.swf .

Ползунки справа управляют значениями четырёх параметров A, B, C и D, их можно двигать мышью. Сетка в левой части показывает, что происходит с координатами при линейном преобразовании.

Задание: попробуйте подобрать положение ползунков, при котором сетка повернулась бы на 45 и 90 градусов против часовой стрелки. Это возможно!

Как видите, линейное преобразование представляет собой комбинацию различных перекосов и растяжений в различных направлениях. Кроме того, есть значение параметров, при котором не происходит никакого искажения. Эти значения выставлены вначале.

Маленькое замечание

Вообще-то мультик неправильный!

Он прекрасно служит для иллюстрации того, что такое линейные преобразования координат, но не учитывает одного маленького факта.

Допустим, у нас есть объект, координаты которого равны x=1, y=1. Кроме того, допустим, что преобразование осуществляется с помощью параметров A=2, B=0, C=0, D=1. Тогда получится, что после преобразования координаты объекта должны стать x’ = 2, y’ = 1. На нашем же мультике сетка вытягивается вверх и координаты такого объекта получаются x’ = 0,5, y’ = 1.

То есть, наш мультик показывает всё наоборот.

Что именно он показывает наоборот?

Вспомним ещё раз, что такое координаты? Это шифр, который показывает местоположения. То есть, есть мир, и есть его шифр. Шифр представляет собой описание мира.

Взаимоотношение между миром и описанием показано на рисунке.

Мы сейчас рассматриваем изменение того, что на рисунке отмечено стрелкой с надписьюпроцедура . Если меняется процедура, меняется и описание мира. Однако, если учесть тот факт, что сам мир тоже может меняться, это раз, и что без процедуры и описания мы мир никак увидеть не можем, это два, то получается, что фактически, мы никак не можем узнать, изменился ли мир или изменилась процедура его описания.

Вспоминаете Алису в стране чудес, когда она съела волшебный пирожок и стала очень маленькой? При этом Алиса никак не могла выяснить, стала ли она маленькой или это мир стал большим. Мы с вами сейчас понимаем, что эти два варианта принципиально невозможно отличить.

Поэтому, когда растягивается сетка, символизирующая систему координат, это может с равной степенью достоверности означать, что сплющивается мир. Если сетка поворачивается направо, то это может означать, что мир поворачивается налево. И так далее.

На нашем мультике мы нарисовали, что растягивается сетка. Но с равной степенью достоверности можно было бы нарисовать, что сетка остаётся неизменной, а сплющивается мир.

Тут дело в том, что мы примем за норму. И ещё тут дело в том, что неважно, что мы примем за норму, это раз, и что невозможно что-либо за норму не принять, это два. Узнаёте ситуацию?

Ситуация точно такая же, какая она была при введении самих координат. Теперь аналогичная ситуация возникла при анализе взаимоотношений между координатами и миром, который они описывают.

И вот эта ситуация послужила причиной нашей ошибки: мы преобразовывали уже получившиеся координаты и рисовали сетку по этим новым координатам. То есть, новые координаты давали нам сетку. А надо было рисовать сетку так, чтобы она давала нам новые координаты.

Иными словами, мультик показывает, как преобразуется мир, а не как преобразуются координаты. Однако, оправдывает нас то, что если бы мы нарисовали бы мультик павильно, мы всё равно получили бы качественно ту же самую картинку линейных преобразований.

Выводы

Поставленную в прошлом выпуске рассылки задачу каким-либо образом обойти необходимость введения координат мы начали ещё там решать путём анализа происходящего при замене одних координат другими.

В этом выпуске мы рассмотрели, что происходит с координатами, когда они преобразуются при помощи самых простых математических действий — умножения на число и сложения. Преобразования координат по таким формулам мы назвалилинейными .

Оказалось, что линейные преобразования заключаются в различных растягиваниях и перекосах. В частности, линейным преобразованием является поворот вокруг своей оси.

В дальнейшем мы увидим, что линейные преобразования — это такие преобразования, которые заключают в себя большинство наиважнейших процессов в природе. И что, фактически, изучив только лишь линейные преобразования, мы изучим самый главный кусок физики.