Язык математики

В предыдущем выпуске мы рассмотрели, какой бывает относительность.

Надеюсь, мне удалось показать, что понятие относительности не так просто, как кажется на первый взгляд, и что тут есть некоторая глубина, которую следует иметь в виду. Надеюсь, мне удалось показать разницу между относительностью, которую мы можем себе представить и относительностью, которая свойственна природе.

Можно подвести следующий итог: есть природа и есть наша фантазия и они — не одно и то же. Хотя, между ними есть соответствие, причем по мере углубления понимания природы, соответствие усиливается.

Плюсы и минусы математики

Теперь я хочу затронуть еще одну вещь — математику. И тоже показать, что природа и математика — не одно и то же и тоже заметить, что между ними есть соответствие.

Теория относительности — очень сильно основана на математике. Вообще, вся физика основана на математике. Некоторым это нравится, некоторым нет. Но хорошо ли это на самом деле?

С одной стороны, это плохо. Математика похожа на внешний (по отношению к нашему обычному) мозг, который мы бездумно используем, чтобы получить правильный результат.

Например, если я хочу разделить 1215 на 27, то могу применить математическое правило деления столбиком, в результате чего получу правильный ответ — 45. Но понял ли я чего-нибудь? Отличается ли как-либо моя работа от той, которую я проделал бы, если бы поделил числа на калькуляторе?

Нет! Разделив числа столбиком, я бездумно, как попугай, выполнил некий алгоритм, который я верю, приносит правильный ответ. Но на самом деле, я даже не понимаю, почему именно такой способ деления правильный. А может, есть более удобные или более простые способы? Я не знаю. Я болванчик, которого научили делить столбиком и который не понимает, как и почему у него получается ответ.

Разительное отличие я вижу в случае, когда делю небольшие числа. Например, когда я делю 4 на 2, то мысленно представляю четыре, скажем, палочки и разделяю их на две равные части. Тут я понимаю, что я делаю, тут я вижу процесс!

Можно придумать и более сложные примеры, из области алгебры или интегрального исчисления. Во многих случаях математические методы позволяют получать правильные ответы, но бездумно.

Итак, математика вредит пониманию. Многочисленные истории о математических дарованиях, которые напрочь теряли свои таланты, как только подвергались систематическому образованию — только подтверждают эту мысль.

Но с другой стороны, математика — это хорошо. Математика — это как игра в классики или карты, которая содержит небольшое число правил, ограничивающих наше поведение. В результате этого, мы становимся в большей степени застрахованы от ошибок.

Когда воображаешь, то неудивительно, что воображаемые вещи могут появляться и исчезать не только по нашему желанию, но и по ошибке. Можно что-то забыть, что-то вообразить неправильно и так далее. В математике это сделать труднее. В математике это всегда будет заметно, так как проявится в нарушении каких-то правил — "забыл минус" и т.п.

Итак, математика помогает избежать ошибок. Многочисленные случаи, когда умозрительные построения опровергались математически и обнаруживали ошибку — подтверждают это.

Теперь хорошо было бы подумать, а можно ли устранить минусы математики, сохранив ее плюсы?

Можно. Для этого надо помнить, что математика — это всего лишь особый язык описания. Математические формулы ценны не сами по себе, а тем, что они обозначают. Поэтому, если мыслить параллельно, и образами и описывающими их формулами, то можно и ошибок избежать и понимание сохранить.

То есть запомните, что существует природа и существует ее описание на языке математики. Точнее говоря, существует природа, существует представление о природе (фантазии, модели) и существует описание этих представлений на языке математики.

Природу мы все еще не поняли до конца. Пока что у нас есть только примерные фантазии на этот счет. Но фантазии, накопленные человечеством, записаны на языке математики. Поэтому, если открыть книжку, то не увидишь и фантазий, они будут скрыты за странными значками и закорючками.

Вот собственно, то окончательное представление, которое я хотел бы у вас создать. Есть три мира — математика, ум и природа, которые связаны друг с другом и взаимодействие которых нужно иметь в виду.

Координаты

Рассмотрим одно из выразительных средств, которое математика применяет, чтобы описать наше представление о пространстве.

Я говорю о координатах.

Координаты — это способ, при помощи которого математика обозначает понятие о пространстве. В воображении у нас пространство, просторы. А на языке математики это будут числа — координаты.

Например, пространство на поверхности Земли при переводе на язык математики превращается во множество широт и долгот. Чтобы это сделать, на Земле мысленно нарисовали сетку из параллелей и меридианов, каждый из которых пронумеровали (в градусах). В результате, каждая точка на планете получила чиловое выражение, то есть, была переведена на язк математики. В частности, точка, в которой расположен поселок Карабулак Талды-Курганской области получил числа 45°00’ и 78°23’ 🙂

Эти числа и называются координатами.

Пока мы находимся на Земле, у нас есть две степени свободы — широта и долгота. Математики говорят, что пространство поверхности Земли = двухмерное. Оказывается, каким способом ни проведи на Земле сетку координат, их всегда получится две. Поэтому, двухмерность земной поверхности — неотъемлема. Это не математический фокус!

Если же мы захотим оторваться от поверхности, допустим, на самолете, то нам понадобится еще одна координата — высота. Это означает, что пространство, в котором живут самолеты — трехмерное.

Но не размерность пространства сейчас важна, рассмотрим ее потом.

Сейчас я хочу донести другую мысль: при переводе язык математики искажается смысл.

Дело в том, что все числа — разные. Например, число 2 совершенно не похоже на число 3. Хотя бы потому, что 2 четное, а 3 — нечетное. Это пример только одного свойства, которое различает эти два числа. А есть и другие. Числа бывают простые, совершенные, квадраты, целые, делящиеся на 7 и так далее. То есть, каждое число уникально, каждое обладает набором свойств, характерных только ему.

А все точки пространства — одинаковые. Конечно, они не одни и те же, но по свойствам все точки пространства похожи. Нет четных и нечетных точек, нет простых точек и так далее. По своим физическим свойствам пространство однородно.

Получается, что при переводе на язык математики, мы привнесли в смысл нечто лишнее. Подобные явления есть и вдругих языках. Например, слово "стол" — мужского рода. Именно поэтому мы говорим, что стол "стоял", а не "стояла". Однако реально в столе ничего мужского нет. Стол — это что-то неживое, пола не имеющее. То есть, при переходе от образа стола к слову "стол" смысл исказился, появилось лишнее качество.

В случае со столом ничего такого страшного от того, что все русскоговорящие считаю столы мужчинами — нет. В конце концов, все понимают, о чем идет речь и ошибок не будет.

Не так с координатами. Если мы будем записывать на языке математики законы природы, то мы неизбежно будем использовать в них числа координаты. А числа — разные. А точки — одинаковые. Законы получатся неправильными, если мы кое-что не учтем.

Мы не можем сделать так, чтобы числа стали одинаковыми, так уж случилось, что они разные. Зато мы можем записать на языке математики еще кое-что, говорящее нам о том, что точки одинаковые.

Если возвращаться к примеру со столом, то его можно и продолжить. Пусть ребенок впервые осознал, что стол почему-то мужского рода и спрашивает, должен ли стол носить штанишки, как мальчик, или юбочку, как девочка? Ребенку придется дополнительно сказать, что стол обозван мужским родом условно, что на другом языке он вполне мог бы назваться в женском роде. То есть, ребенок должен запомнить две вещи:

  1. стол называется словом стол мужского рода
  2. стол мог бы быть и женского рода, от этого ничего бы не изменилось

В случае с координатами первое предложение соответствует правилу, определяющему координаты. Например, координата "долгота" отсчитывается от Гринвича в градусах. Градус — это 1/90-я часть прямого угла.

Чему же соответствует второе предложение?

Второе предложение соответствует законам преобразования координат. Эти законы — это математические формулы, которые показывают, как еще можно было бы выразить координаты, чтобы по сути ничего не изменилось.

Например, долготу можно отсчитывать не от Гринвича, а от любого другого меридиана — география от этого не измеилась бы. На математическом языке это означает, что к долготе можно прибавить любое число и от этого ничего не изменится.

То есть, у нас получается формула преобразования долготы, которое не влияет на географию:

новая_долгота = старая_долгота + любое_число

Еще, можно измерять долготу не в градусах, а в каких-то других единицах. Например, в градах. Грады — это единицы, в которых прямой угол равен 100 градам. На математическом языке это означает, что долготу можно умножить на любое число, и география от этого не изменится. В результате мы получаем общую формулу преобразований долготы:

новая_долгота = старая_долгота * множитель + добавка.

Выводы

Итак, на примере координат мы выяснили, что при переводе на язык математики смысл искажается и для фиксации этого факта необходимы дополнительные математические выражения — формулы преобразования, при которых смысл других формул не меняется.

Димс.

P.S. Пожалуйста, присылайте Ваши вопросы и пожелания по адресу relativity@mail.ru

http://relativity.h11.ru/