Вывод преобразований Лоренца для времени

В статье рассказывается о том, что искажения времени, возникающие при равномерном движении, сложнее, чем та зависимость, которую мы вывели при рассмотрении замедлении времени. Оказывается, движущийся предмет предстаёт перед нами состоящим из разных мгновений своей жизни, а как именно – говорят полные формулы преобразований Лоренца для времени.

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Уважаемый Архитектор продолжает переводить ответы на частые вопросы по Общей теории относительности. К настоящему моменту он перевёл ответы на вопросы про парадокс Олберса, и про то, расширяются ли остальные предметы при расширении Вселенной.

А пока вернёмся к нашему постепенному изучению частной относительности.

Многие думают, что эффекты теории относительности заключаются только в замедлении времени и в лоренцевом сокращении, но это не так. В прошлом выпуске мы уже говорили о том, что полный набор эффектов сложнее и заключаются они в преобразованиях Лоренца.

Сегодня у нас математический выпуск, и мы их выведем, пока только для времени.

Математические свойства релятивистского множителя

В данном выпуске нам потребуется проводить множество алгебраических операций, то есть, преобразований формул друг в друга, но все они основаны на приёмах работы с корнями, которые наглядно выявляются в преобразованиях, которые можно произвести над так называемым релятивистсвим множителем.

Релятивистским множителем называется выражение

(1)

Это выражение встречается в формулах замедления времени и лоренцева сокращения.

Например, время t’, прошедшее в движущейся системе отсчёта выражается через время t, прошедшее в неподвижной системе, следующей формулой

(2)

а лоренцево сокращение – формулой

(3)

Оказывается, сам структура этого выражения такова, что в нём скрыто очень много алгебраическихвариаций . Посмотрим, что можно сделать с релятивистским множителем.

Вот он.

(4)

В знаменателе, под корнем, находится разность с участием единицы. Любую единицу можно представить, как число, делённое само на себя. Если в качестве такого числа выбрать c2, то получится две дроби с одинаковым знаменателем, вот так:

(5)

Две дроби с одинаковым знаменателем можно объединить, вот так

(6)

А дробь – записать в виде произведения числителя и числа, обратного знаменателю, вот так

(7)

Множитель можно вынести за знак корня, не забыв убрать квадрат

(8)

Поскольку в знаменателе стоит обратное число, его можно перенести в числитель, перевернув, вот так

(9)

Подкоренное выражение можно преобразовать по формуле разности квадратов, вот так

(10)

Наконец, всю дробь можно записать раздельно по множителям, вот так

( 11)

Обратитие внимание, что все эти выражения равны между собой, представляют собой одно и то же число – релятивистский множитель – которое входит во все формулы преобразований.

Время в конце линейки

Преобразования будут выведены на основе трёх уже известных нам явлений:

  • постоянства скорости света, не зависимо от того, с какой точки зрения она измеряется
  • замедления времени, которое происходит в движущихся системах отсчёта
  • лоренцева сокращения, которое заключается в сокращении длин движущихся предметов по сравнению с их длинами в неподвижном состоянии

Всё будем рассматривать с точки зрения неподвижной системы отсчёта. В этой системе отсчёта расположим линейку, длиной L. Возьмём вторую линейку, той же длины, и запустим её вправо с субстветовой скоростью v. Одновременно с этим запустим в том же направлении световой импульс. То есть, проделаем тот же опыт, который мы рассматривали в предыдущем выпуске.

Обратите внимание, что с движущейся линейка стартует в тот момент, когда её начало совмещено с началом неподвижной линейки. В тот же момент запускаются часы как внашей , неподвижной, системе отсчёта, так и у наблюдателя, которыйсидит на движущейся линейке.

На нижеследующем рисунке изображены семь фаз этого процесса.

Если Вы не видите рисунка, то попробуйте прочитать письмо, будучи поключённым к интернету, либо проследуйте по ссылке https://relativity.ru/images/formulae/lor12.gif

Нас интересует событие, изображённое на шестой фазе, которое обозначено буквой E. Оно заключается в том, что световой импульс долетел до конца движущейся линейки.

Первое, что мы можем сделать, это рассчитать время, когда световой импульс, летя параллельно движущейся линейке, достигнет её конца. Интуитивно чувствуется, что для этого расчёта достаточно тех данных, которые у нас есть, а именно, длины линейки в неподвижном состоянии l’ (то есть, такой, как она представляется наблюдателю, который на ней сидит) и скорости её движения v.

Произведём эти расчёты.

Если обозначить время, в течение которого происходил полёт буквой t, то пройденное светом расстояние x, будет выражаться очевидной формулой

(12)

Движущаяся линейка будет с нашей точки зрения иметь длину не l’, а лоренцево-сокращённую длину l. То же самое расстояние будет складываться из пути, пройденного за время t началом линейки и длины линейки l, то есть

(13)

Иначе говоря, получается простое уравнение

(14)

из которого можно найти тот самый момент t, в который произойдёт событие E.

(15)

Эта формула выражает взаимосвязь между длиной линейкидля нас и временем события E. Ясно, что чем длиннее линейка, тем позже наступит событие E. Ясно также, что длина линейки жёстко определяет время, которое потребуется свету, чтобы догнать её конец.

Понятно, что верно и обратное утверждение – чем позже наступает событие E, тем значит длинее была выбрана линейка.

Можно выразить длину линейки через время наступления события E, вот так

(16)

Поскольку любое число (положительное) можно представить, как квадрат его корней, а квадрат – это произведение числа самого на себя, то формулу (16) можно представить в виде

(17)

О чём говорит эта формула? О том, что у нас так подобран эксперимент, что длина линейки и время события неразрывно связаны. В самом деле, ведь событие состоит в достижении светом конца движущейся линейки.

Теперь задумаемся. Это самое событие E, которое с нашей точки зрения произошло в момент времени t, который мы только что рассчитали, для движущегося наблюдателя должно было бы произойти в момент

(18)

Почему?

Потому что для движущегося наблюдателя происходило ни что иное, как измерение скорости света. Для него его линейка была неподвижна и свет просто-напросто летел от начала до конца линейки. И сделать он это должен был за время, которое требуется, чтобы со скоростью c пролететь расстояние l’.

Здесь мы использовали постулат о постоянстве скорости света.

Исходя из формул (3) и (11), мы можем выразить истинную длину линейки l’ через её сокращённую длину по формуле

(19)

Подставляя это выражение в формулу (18), получим время через длину линейки в нашей системе отсчёта

(20)

В чём смысл этого выражения? Оно показывает, через какое время с точки зрения движущегося наблюдателя, световой сигнал прибудет в конец линейки. В основе этого соотношения – просто учёт затраченного времени на основании скорости и длины пути (18), только вот длина пути представлена взакодированном виде – через длину линейки в неподвижной системе отсчёта.

Теперь вспомним рассуждения по поводу формулы (17). Там мы выяснили, что длина линейки неразрывно связана с моментом того же события, но в неподвижной системе отсчёта. Следовательно, мы можем использовать эту связь, чтобы записать зависимость времени события E в движущейся системе отсчёта от времени того же события в неподвижной. Для этого надо подставить выражение (17) в формулу (20), что даст нам

(21)

Время в начале линейки

В прошлом выпуске мы поняли, что в каждом одном миге, когда мы имеем движущуюся линейку, она по своей длине берётся из разных времён движущегося наблюдателя.

Только что мы посчитали, из какого момента взялся конец линейки. Теперь зададимся вопросом, в каком моменте времени находится начало линейки?

Ответ на этот вопрос нам даёт второе известное нам явление теории относительности. Мы знаем, что часы движущегося наблюдателя идут медленнее по формуле замедления времени.

Сколько времени прошло у нас – мы посчитали, это t. Зная это время, мы можем посчитать, сколько времени прошло у наблюдателя, находящегося в начале линейки.

Это количество будет меньше t и будет равняться

(22)

Вновь вспоминая выражение (11), приведём эту формулу к виду

(23)

Здесь может возникнуть вопрос: а почему собственно, мы не применили формулу замедления времени для конца линейки? Разве не верно, что время замедляется в движущейся системе отсчёта? И разве не верно, что это замедление выражается формулой (2) или (22) и, таким образом, отличающаяся от них формула (21) – неверна?

Нет. Время действительно замедляется, но формула этого замедления типа (2) была нами получено только для той точки движущейся системы отсчёта, которая в начальный момент времени совпадала в пространстве с часами в неподвижной системе отсчёта. В данном случае – это точка начала линейки. Конец же линейки находился в начальный момент времени на некотором расстоянии. Мы не знаем, сколько там было времени и не знаем, сколько стало к моменту подлёта туда света. Точнее, мы это знаем, и мы это вычислили в предыдущем разделе и у нас получилась формула, отличная от (2) и (22).

Сопоставление моментов времени

Итак, что же мы видим? Мы реально посчитали два момента времени движущегося наблюдателя, к которым относятся начало и конец линейки, которая нами воспринимается, как одновременная.

Можно ли на основании этого сказать что-либо относительно того, из каких моментов берутся части линейки, находящиеся между её началом и концом? Оказывается можно, если сделать одно предположение, которое на языке физики называется предположением линейности.

Это – очень простое предположение. Оно заключается в том, что моменты времени из которых берутся промежуточные части линейки, равномерно переходят от начального момента, к конечному.

Рассмотрим таблицу суммирующую накопленные нами знания о линейке на шестой фазе движения.

Объект
Положение в пространстве
Положение во времени
внашем
вего
внашем
вего
начало линейки
vt
0
t
конец линейки
ct
l’
t

В первом столбце таблицы указан описываемый объект – начало или конец линейки. Во втором столбце таблицы показано положение этих объектов в нашем пространстве. Тут всё просто. Начало линейки прошло столько, сколько оно должно было пройти за заданное время, а конец – столько, сколько успел пролететь свет, так как они там встретились. С положением в его пространстве тоже всё просто. Ни начало, ни конец линейки не двигались и поэтому оставались на своих местах. С положением в нашем времени тоже всё просто – с нашей точки зрения шестая фаза представляет собой один момент времени t.

Последняя колонка – это то, что мы насчитали только что.

Нам нужно добавить в эту таблицу строчки, относящиеся ко всем промежуточным кусочкам линейки, от vt до ct и проставить напротив их всех времена, промежуточные от (23) до (21).

На математическом языке говорится, что требуется построить зависимость того, как меняется время движущегося наблюдателя вдоль линейки. В качестве числового параметра, который будетуправлять этим изменением времени, возьмём расстояние от начала координат.

Линейная зависимость – это значит, зависимость вида

(24)

где x – положение участка линейки в нашем пространстве, а A и B – числа, которые нам надо найти, чтобы сформулировать зависимость. Чтобы их найти, надо взять эту формулу в тех местах, в которых мы её знаем, то есть, в начале и конце линейки.

В начале линейки получится

(25)

в конце линейки будет

(26)

Это – система из двух уравнений с двумя неизвестными (A и B), значит, её можно решить.

Вычитая первое уравнение из второго, получим

(27)

деля обе части на , получим выражение для A

(28)

приводя к общему знаменателю, получим

(29)

подставляя это выражение в первое уравнение (25), получим

(30)

откуда можно выразить B

(31)

приводя к общему знаменателю и раскрывая скобки по формуле разности квадратов, получим

(32)

подставляя выражение для A и B в формулу (24), получим

(33)

поскольку у слагаемых общий знаменатель, их можно свести, после чего, вынося в числителе c2 за скобки, получим формулу

(34)

что, вспоминая (11), окончательно даёт

( 35)

эта формула и есть преобразование Лоренца для времени.

Выводы

Оказалось, что сочетая три известных нами ранее факта теории относительности, совместно с предположением о линейности, можно построить численное описание неодновременности точек движущегося предмета. Каждый движущийся предмет действительно состоит из самого себя в разные времена и формула этого состава – преобразование Лоренца для времени.

Формула оказалась сложнее, чем полученная нами ранее формула для замедления времени, но не намного. Она учитывает, что на протяжении движущихся предметов моменты временисдвинуты друг относительно друга и время совпадает с обычным замедленным временем только в начальной точке.

Обратите внимание, что, согласно (35), в точках x, удовлетворяющих неравенству

(36)

будут расположены моменты времени, предшествующие самому началу эксперимента! Однако, эти точки так далеко, что даже свет, а значит, и никакое другое взаимодействие, не могут успеть оттуда к нам долететь.

Таким образом, теория относительности в очередной раз показывает нам призрак путешествий во времени, который, однако, всё никак не материализуется…

Димс.

Оцените статью
Строительный портал