Главная / Интервал

Интервал

Из геометрии мы знаем, что расстояние между двумя точками на плоскости вычисляется по формуле

Здесь – это координаты первой точки, а – это координаты второй точки.

Очевидно, что, поскольку это расстояние, то его величина не зависит от выбора системы координат. Вот пример рисунка

align=”center”>

На нём есть две точки «1» и «2» и две системы координат, синяя (штрихованная) и чёрная (нештрихованная). Пунктирными линиями отмечены всевозможные проекции на координатные оси и соответствующие получающиеся координаты.

Ясно, что если у нас по предыдущей формуле получилось, что расстояние равно 5 сантиметров (например), то проведя расчёт по формуле

мы должны получить те же самые 5 сантиметров. То есть, числа, входящие в формулу будут другие, а полученные результат – тот же.

Формулу для расстояния можно переписать с использованием символа «дельта», который означает «изменение». Выглядеть это будет так

Здесь символ означает «разница по координате », то есть

Аналогично

То есть, символ дельта – это просто сокращение формулы с разностью.

Говоря наукообразным языком, расстояние является «инвариантной величино» или просто «инариантом». Инвариант по-латински означает «неизменный». В данном случае имеется в виду неизменность от выбора системы координат.

Из геометрии известно, что систему координат можно выбрать как угодно, так, чтобы было удобней решать задачу. То есть, координаты – это произвольная, искусственная вещь. А вот расстояние, будучи инвариантом, показывает как бы более глубокий слой реальности, по сравнению с тем, который показывают координаты. То есть, координаты – это что-то наносное, а вот инварианты – что-то сущностное. Поэтому понятно, что поиск инвариантов во всех областях физики, является очень важным для глубокого понимания сути явлений.

В двухмерной геометрии такой «сущностной» величиной, как мы уже выяснили, является расстояние, записываемое формулой

В одном из предыдущих выпусков (про два племени) мы уже подсказывали, что в теории относительности тоже существует инвариант, который называется «интервал» и который записывается формулой, похожей на формулу для расстояния:

Здесь мы уже, естественно, имеем в виду не точки в двухмерном пространстве, а события в 4-мерном. Но 4-мерное пространство у нас для простоты усечено до двухмерного, в котором оставлена только одна пространственная ось и ось времени . Если координаты одного события равны , а координаты другого равны , то здесь мы обозначили и , то есть,

– это промежуток времени между двумя событиями

– это обычное пространственное расстояние между событиями

Пусть первое событие это штурм Зимнего дворца в 1917 г., а второе событие – это взятие Бастилии в 1798 г. Тогда = 2165 км, а = 128 лет, а ось проведена из Петербурга в Париж.

Читателю предоставляется возможность самому проверить, что интервал является инвариантом. Для этого нужно обозначить буквами координаты двух событий в одной системе координат, затем, воспользовавшись преобразованиями Лоренца, получить из них координаты тех же событий в другой системе. После чего составить из полученных координат формулу интервала. Должно получиться то же самое, что и в начале.

Ниже приводятся формулы преобразования Лоренца в наших обозначениях:

Если присмотреться к формуле интервала, то она состоит из двух частей

которые здесь обозначены как временнАя (вр.) и пространственная (пр.).

В отличие от расстояния, в котором компоненты входят в формулу равноправно, компоненты в интервал входят по-разному, так как они разделены знаком минус. Если временная часть больше пространственной, то подкоренное выражение получается положительным и корень получается обычным (действительным) числом. Если же временная часть меньше пространственной, то подкоренное выражение получается отрицательным и корень оказывается мнимым числом. Есть третий вариант: пространственная часть равна временной и тогда и подкоренное выражение и корень оказываются равны нулю.

Поскольку для любых двух событий интервал одинаков с точки зрения любой системы отсчёта, то одинаково и это его свойство. То есть, интервал между любыми двумя событиями может быть: действительным, мнимым и нулевым.

Каков смысл этих трёх видов интервалов?

Обратимся опять к пространственной и временной частям его формулы. Пространственная часть – это просто – это квадрат расстояния между событиями. Временная же часть – это промежуток времени между ними, умноженный на скорость света и всё это – возведённое в квадрат. Но что такое промежуток времени, умноженный на скорость света? Это ни что иное, как расстояние, которое свет проходит за данный промежуток.

Следовательно, формула интервала, по сути, осуществляет сопоставление двух пространственных расстояний: расстояния между событиями и расстояния, которое свет проходит за промежуток времени между событиями.

Если опять вспомнить взятие Зимнего и Бастилии, то интервал заставит нас сопоставить расстояние между Петербургом и Парижем и расстояние в 128 световых лет (примерно на таком расстоянии находится звезда Альфа Большой медведицы). Поскольку временная часть тут намного больше пространственной, то интервал оказывается действительным.

Другой смысл трёх видов интервалов мы рассмотрим в следующих выпусках.


Димс.