Выводперекрёстных преобразований Лоренца

Без смещения

Перекрёстные преобразования Лоренца, это преобразования, связывающие координаты из разных систем отсчётаперекрёстно , то есть, когда дано время из одной ИСО, а координата – из другой и по этим данным требуется получить остальные значения.

Инерциальная система отсчёта движется вдоль положительного направления оси x лабораторной (неподвижной) системы отсчёта со скоростью v.

Запишем преобразование Лоренца для пространственной координаты в лабораторной ( покоящейся , индекспк ) системе отсчёта в зависимости от координат в движущейся (индексдв ) системе отсчёта

откуда, после несложных перестановок, получим первое перекрёстное преобразование

Теперь запишем обычное преобразование для времени

и подставим в него выражение для xдв из предыдущего выражения, получим

раскрывая скобки в числителе, получим

вынося в числителе коэффициенты при tдв, получим

учитывая, что выражение в скобках всегда положительно, расписываем дробь в виде суммы двух дробей и сокращаем корни и получаем второе преобразование

Со смещением

Преобразование для координаты со смещением имеет вид

приведём к общему знаменателю

проделаем те же операции, что и раньше

Преобразование для времени со смещением имеет вид

приведём к общему знаменателю

подставим xдв

раскроем скобки в числителе

из первых двух слагаемых вынесем за скобки tдв

раскроем дробь

Вычисление смещений

Пусть в некоторый момент времени tизм по часам движущейся системы отсчёта произошло изменение её скорости на Δv.

Тогда преобразование к лабораторной системе отсчёта события (0, tизм) должно давать одни и те же координаты как со старой скоростью и старыми смещениями, так и с новыми.

Для координаты должно выполняться равенство

что даёт

Для времени должно выполняться равенство

то есть

Оцените статью
Строительный портал