Преобразования Лоренца для пространства

Сегодня мы, наконец, выведем преобразование Лоренца для пространства. Мы почти не будем пользоваться алгебраическими манипуляциями, а построим расчёт на основе воображения. Для этого построим всю картинку в уме и сформулируем задачу.

Итак, все уже давно должны были отойти от узких представлений о сокращении длин и замедлении времени: происходит нечто более сложное.

Воображаемые линейки

Сейчас мы вообразим, во-впервых, неподвижную ( лабораторную ) систему отсчёта, а во-вторых, движущуюся. Каждая система отсчёта будет состоять из линейки и расположенных вдоль неё часов. Поскольку, как мы уже знаем, одновременность в каждой системе отсчёта своя, то и часы у каждой из линеек будут стоять по-разному. А именно: часы каждой системы отсчёта будут показывать время, правильное для неё.

Разумеется, сами часы и линейки объективны, и мы можем наблюдать их все из одной системы отсчёта – из лабораторной.

Итак, мы видим первую линейку. Это линейка лабораторной системы отсчёта и она неподвижна. Вдоль неё расположены часы, которые идут синхронно друг с другом.

Теперь станем воображать движущуюся систему отсчёта. Это – тоже линейка, но она движется. Деления этой линейки расположены гуще – это происходит лоренцево сокращение. Далее, вдоль линейки расположены часы движущейся системы отсчёта. Поскольку в этой системе отсчёта своя одновременность, а мы наблюдаем часы из своей, то мы наблюдаем часы рассинхронизировавшимися. Все они идут с одинаковой скоростью, но подведены на разное время.

Пусть движущаяся линейка проносится сверху вниз.

Тогда часы, налетающие сверху, подведены чуть вперёд, а часы, отлетающие вниз, подведены чуть назад – по сравнению с теми часами, которые в некоторый момент времени находятся напротив нулевой отметки неподвижной линейки. Если это трудно вообразить, то обратитесь к мультику из выпуска про полёт над полем часов. Разгонитесь вверх, тогда ряд часов в правой части станет двигаться вниз – он и будет символизировать движущуюся линейку.

Внимание! Ниже зачёркнут оригинальный текст выпуска, который является ошибочным. Он не важен для дальнейших рассуждений, правильный расчёт будет рассмотрен в следующих выпусках.

Если заметить глазом точку напротив нулевой отметки неподвижной линейки, то в ней будут сменять друг друга движущиеся часы. Если рассмотреть эту череду как кинофильм, то мы будем видеть одни часы, идущие напротив нулевой отметки. Эти часы будут идти замедленно по сравнению с часами неподвижной системы отсчёта в той пропорции, которую диктует эффект замедления времени.

Поскольку показания этихкино часов складываются из показаний многих проносящихся часов, каждые из которых подведены немного вперёд по сравнению с только что пролетевшими, то скорость хода этих часов быстрее, чем скорость хода самих движущихся часов. Следовательно, сами движущиеся часы идут замедленно в большей степени, чем диктует эффект замедления времени.

Как именно они идут – мы рассмотрим в будущих выпусках рассылки. Сейчас нам важно качественно представить себе происходящее. Вообще, нам в нашей задаче время в движущейся системе отсчёта не интересно, мы говорим о нём для полноты картины, чтобы потренировать воображение.

И ещё один важный момент. Линейки должны быть расположены так, чтобы в определённое мгновение их нулевые деления совпадали, а находящиеся в это время напротив друг друга часы также показывали ноль времени. Это требование задаёт совпадение начал отсчёта в обеих системах (см. рисунок слева).

Итак, всё представили. У кого не получается – обращайтесь к мультику.

Исследуемые события

Теперь, на фоне этих двух линеек и верениц часов, вообразим событие. Как мы узнали в одном из предыдущих выпусков, событие – это нечто непродолжительное как в пространстве, так и во времени. Пусть это будет вспышка.

Момент времени, в который произошла вспышка называется временнОй координатой события, а позиция на линейке, возле которой произошла вспышка – называется пространственной координатой события.

Мы должны взять такое событие, и пространственная и временнАя координаты которого не равны нулю, иначе мы ничего посчитать не сможем.

Итак, в какое-то мгновение происходит начало отсчёта, затем, через какое-то время, не над началом неподвижной линейки, происходит вспышка.

Постановка задачи

Постановка задачи простая: зная координаты (пространственную и временнУю) по неподвижной линейке, найти оные по движущейся.

Частично эта задача уже решена, когда мы вывели преобразование Лоренца для времени. Оставшаяся часть задачи состоит в следующем: узнать, над каким делением движущейся линейки произошла вспышка.

Решение задачи

Решение задачи элементарно.

Момент времени (по часам неподвижной системы), когда произошла вспышка, обозначим за T. Скорость движущейся линейки (и скорость движущейся системы отсчёта) обозначим за V.

Следовательно, за время T линейка, от начала отсчёта, продвинуласть на

V*T.

Нам надо проанализировать показания движущейся линейки. Поскольку она сокращена, то она будет показывать бОльшие значения, чем неподвижная линейка, в релятивистский множитель раз. То есть, из-за движения, показания на движущейся линейке уменьшатся на

(V*T)/sqrt(1-V2/c2).

Почему уменьшатся? Потому, что линейка движется в сторону положительных значений, стало быть, значения напротив любой заданной точки уменьшаются.

Теперь нам надо ещё учесть изначальные показания движущейся линейки, то есть, то значение, которая она показывала в начале на против той точки, где произойдёт вспышка. Очевидно, что тут имеет место чистый эффект сокращения линейки, поэтому начальные показания будут

X/sqrt(1-V2/c2).

Суммарный эффект будет выглядеть так

X’ = X/sqrt(1-V2/c2) – (V*T)/sqrt(1-V2/c2),

или, поскольку знаменатели у двух дробей одинаковые, то так

X’ = (X – V*T)/sqrt(1-V2/c2).

Это и есть формула преобразований Лоренца для пространства. Её функция заключается в том, что она позволяет рассчитывать пространственные показания движущейся линейки в любой момент T и в любой точке X по данным неподвижной системы отсчёта. Иначе говоря, данная формула позволяет вычислить пространственную координату события с точки зрения движущейся системы отсчёта, если известны пространственная и временнАя координаты того же события в системе отсчёта неподвижной.

Димс.

Оцените статью
Строительный портал