Главная / Четвёртое измерение

Четвёртое измерение

В выпуске рассказывается, что такое размерность пространства и как построить пространство с четырьмя размерностями.

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Сегодня мы начнём, как говорил Док из незабываемого фильмаНазад в будущее развивать своё четырёхмерное воображение.

Точка

Начнём с самого простого, с точки. Что такое точка? Казалось бы, что за вопрос: точка — она и есть точка. На самом же деле, об этом стоит задуматься. Точка — это самое маленькое место, которое мы можем себе вообразить.

Пуcть мы — начинающие боги и наших способностей хватило только на то, чтобы создать мир, состоящий всего из одной точки, вот она

Конечно, мне пришлось нарисовать точку гораздо жирнее, чем она есть, просто, чтобы вы могли её увидеть. Так что, придётся подключить воображение и представить, что вот этот вот голубой круг, он на самом деле очень-очень маленький. Как говорят математики, бесконечно-маленький. Вот такой:

Не видно? Правильно, и не должно быть видно, надо представить.

Теперь допустим, у нас есть герой

которого зовут Чарлик. Мы хотим поселить этого героя в наш мир. Ясно, что он слишком толст для этого и его необходимо сплющить. Сналача мы его сплющим во горизонтали, вот так

Тут вам снова придётся подключить воображение. Представьте, что эта вот всё ещё достаточно толстая черепаха на самом деле полностью сплющена (чтобы она влезла в точку).

Затем мы её сплющим ещё и по-вертикали, вот так:

На самом деле, если Чарлика сплющить как надо, то получится вот такой рисунок

которого просто не видно. Но вы уже знаете, что тут надо подключать воображение, поэтому я буду в дальнейшем рисовать вещи гораздо толще, чем они есть, а вы будете просто понимать, что это для наглядности, а воображать как надо.

Теперь мы поселим Чарлика в наш мир:

Хм. Не кажется ли вам, что Чарлику тесно? На самом деле, ему ОЧЕНЬ тесно. Настолько, что он даже не может никуда сдвинуться. Он вынужден всегда оставаться на одной точке.

И вот в этом-то то и состоит свойство точки: живя внутри точки, никуда нельзя сдвинуться. Поэтому точка называется нулемерным пространством. Для краткости можно писать: 0-мерное пространство, 0м пространство 0d пространство (d — от английского слова dimension, измерение) или 0-пространство. Так что если вы где-то прочитаетенуль-пространство , знайте, что речь идёт всего-лишь о точке. Хотя автор этого может и не знать 🙂

Прямая линия

Чтож, станем решать проблемы Чарлика и создадим ему мир попросторнее. Для начала возьмём много точек и соединим их в цепочку. Сколько? Не будем жалеть и возьмём бесконечно-много точек.

Картинка у нас будет такая:

Тут мне снова надо напомнить о воображении. Вы уже знаете, что я не могу нарисовать бесконечно-маленькую точку так, чтобы её было видно, поэтому я рисую точки жирно. Но я не могу ещё кое-что: я не могу нарисовать бесконечно-много точек, поэтому мне пришлось нарисовать 14 штук. Но у вас-то есть воображение. Поэтому вы можете, взяв мой рисунок за основу, представить, будто у вас бесконечно-много бесконечно-маленьких точек выстроены в цепочку.

Что у нас тогда получается? У нас тогда получается прямая линия (или простопрямая ). Наш новый мир — это прямая. Поселим туда Чарлика:

Как видите, нам всё равно пришлось его сплющить.

Что может делать Чарлик в этом мире? Он может ходить только в одном направлении, вперёд или назад. Чарлик не может развернуться. А если чарлик встретит приятеля, то он не сможет с ним разойтись:

две черепахи на прямой

То есть, наш новый мир всё ещё достаточно тесный. В нём есть всего-лишь одно допустимое направление, которое называветсяизмерением . Поэтому прямая называется одномерным пространством (или 1м пространством, или 1-пространством).

Плоскость

Продолжим работы по повышению жизненного комфорта Чарлика.

Повторим по отношению к прямой линии те же самые манипуляции, которые мы проделали с точкой: наберём их много и соединим в цепочку. Только не забывайте, что прямые бесконечно-длинные, поэтому соединять мы их можем только боком.

Вот тут я попытался изобразить серию прямых линий (лазоревый), висящих над столом (жёлтый).

Напоминаю, что каждая прямая бесконечно-тонкая и бесконечно-длинная, а самих прямых бесконечно-много, что невозможно нарисовать. Так что воображайте.

Теперь поместим в наш новый мир Чарлика:

И только тут мы видим, что Чарлик-то с самого начала был плоским! И наш новый мир как раз для него подходит и называется плоскостью. Вообще, все рисунки обычно плоские и экран компьютера тоже обычно плоский.

На плоскости есть два направления, в которых можно двигаться: можно двигаться по каждой прямой, слагающей плоскость, а можно перескакивать с прямой на прямую. Условно эти направления можно назвать вперёд-назад и вверх-вниз (или вправо-влево, в зависимости от ориентации плоскости). Поэтому плоскость является 2-мерным пространством.

Кое-что о топологии плоскости

Достаточно ли свободно жить в 2-мерном пространстве? Во всяком случае, если Чарлик теперь встретит соперника, то они запросто смогут разойтись. Поэтому, на первый взгляд, 2-мерное пространство свободно. Но, оказывается, что это не так.

Есть старая задачка о раскраске карты, которая показывает, что 2-мерное пространство недостаточно свободно.

Пусть у нас есть страны, которые хотят друг с другом торговать без посредников. Для этого им надо иметь попарно границу друг с другом. Возможно ли образовать территории таким образом, чтобы это осуществилось?

Вот рисунок:

Нарисуем территорию первой страны как попало (красный). Нарисуем территорию второй страны тоже как попало (жёлтый), но так, чтобы она граничила с первой. Нарисуем территорию третьей страны так, чтобы она граничила с первыми двумя (зелёный). У нас получится нечто вроде треугольника. Теперь станем рисовать территорию четвёртой страны (синий) так, чтобы она граничила со всеми тремя. При этом нам придётся обогуть треугольник и окружить одну из стран (на рисунке это оказалась красная страна) со всех сторон. Очевидно, что нарисовать пятую страну так, чтобы она граничила со всеми четырьмя — не получится. Если страна будет снаружи, то она не сможет проникнуть в окружение, если внутри — то выбраться со своего острова.

Этот замечательный факт относится к ведению такого раздела математики, как топология. О ней в форме фантастического рассказа можно прочитать у Мартина Гарднера.

Так вот, факт состоит в том, что для того, чтобы раскрасить любую карту так, чтобы все страны одного цвета не имели друг с другом протяжённых границ, достаточно четырёх цветов. Для нас же это означает, что 2-мерное пространство не предоставляет достаточной экономической свободы 🙂

Пространство

Продолжим наши построения. Возьмём множество 2-мерных листов и сложим их стопкой.

Таким образом, мы получим 3 измерения: на каждом листе есть 2, плюс ещё можно будет перескакивать с листа на лист.

Такой объект называется пространством или, более точно, трёхмерным пространством (3-пространством). Такое пространство обеспечивает максимальную свободу. В частности, космические государства могут иметь друг с другом попарные границы не затрагивая остальных (правда, для этого государствам придётся принять форму медуз с многочисленными щупальцами или, быт может, форму нервных клеток).

4-пространство

Мы можем продолжить наши построения. Мы можем взятьстопку 3-мерных пространств и рассматривать их как единое целое. К сожалению, этого невозможно нарисовать.

Но у нас есть воображение!

Представьте себе множество объектов, параллельных миров, каждый из которых представляет собой 3-мерное (обычное) пространство. И представьте, будто жители этого множества могут не только перемещаться внутри каждого из 3-пространств (которые называются подпространствами), но и перескакивать из одного 3-пространство в другое. Это даёт им четвёртую степень свободы, четвёртое измерение, полученную систему пространств называют 4-пространством.

Казалось бы, конструкция совершенно абстрактная. Но это не так. По каким-то неведомым причинам, мы с вами живём именно в 4-мерном пространстве. Мы не можем свободно перемещаться в 4-ом измерении, то есть, мы не можем перескакивать из одного подпространства в другое так, как нам хочется, но они существуют.

Четвёртое измерение — это время. Весь мир существует во множестве копий. Сегодняшний мир, вчерашний мир, позавчерашний мир. В каждом дне существует своя 3-мерная вселенная, свои звёзды, своя Земля. А наша жизнь — есть принудительное перескакивание из одного слоя в другой, из вчера в сегодня, из сегодня в завтра.

В дальнейшем мы рассмотрим эту модель подробнее.

Всё.


Димс.