Главная / Пространственно-временные диаграммы

Пространственно-временные диаграммы

Снова о том, как повысить наглядность 4-мерного пространства.

В прошлом выпуске мы рассмотрели весь принцип построения упрощеных изображений 4-мерных сцен. Сегодня мы рассмотрим один из распространённых в преподавании теории относительности конкретный способ того, как это делать. Речь пойдёт о пространственно-временных диаграммах.

Пространственно-временные диаграммы — это очень мощный метод понимания ситуаций и парадоксов в специальной теории относительности. Всё, что описано ниже, вы уже должны знать из предыдущих выпусков. Но теперь оно же самое будет представлено в виде более наглядных диаграмм.

Введение

Если вы помните, то в прошлом выпуске мы рассмотрели метод проекций и метод сечений. Пространственно-временная диаграмма — это сечение, в котором оставлено только два измерения: пространство и время.

Очень часто многие простые (учебные) ситуации происходят на одной прямой. Сюда относится и парадокс близнецов и многие другие ситуации. В этом случае мы имеем права выбрать систему отсчёта так, чтобы осьикс совпадала бы с той прямой, на которой всё происходит; тогда все остальные пространственные оси будут не нужны и можно будет использовать второе измерение бумажного листа для обозначения времени.

Неподвижные тела и места, события, моменты

Например, Челябинск, Омск и Новосибирск находятся практически на одной прямой. Поэтому мы можем провести осьикс через все три города. Направим ось с запада на восток и выберем за начало координат местоположение Омска. За начало осчёта времени выберем 1800-й год.

На рисунке направим временнУю ось t вертикально вверх, а пространственную ось x горизонтально направо и у нас получится следующая диаграмма (кроме выбранного времени на ней для удоства обозначены ещё и годы):

На диаграмме видно, что Челябинск начал своё существование в 1736 году. В 1892 году с этим городом произошло некое событие, которое является отркрытием в городе железной дороги. Омск начал своё существование в 1897 году в виде крепости. В 1897 году с ним произошло событие (он перестал быть острогом). Новосибирск основан в 1893 году, а своё нынешнее название получил в 1925.

Суть построения пространсвенно-временных диаграмм заключается в том, что мы отмечаем пространственно-временные точки, удовлетворяющие интересующим нас условиям. Например, Омск всегда оставался на своём месте, поэтому все точки, относящиеся к Омску, будут находиться над нулевой временной точкой. До 1716 Омска не было, поэтому ниже этой отметки точек не будет.

Из этого примера видно, что любое место на пространственно-временной диаграмме изображается вертикальной (мировой) линией. А любой момент времени (например, 1800-й год) изображается горизонтальной линией. Событие, локализованное и в пространстве и во времени изображается точкой.

Идущий человек

Теперь перенесёмся в другой масштаб и рассмотрим человека, равномерно идущего в одном направлении со скоростью 5 км/ч. Пространственную осьикс направим вдоль движения человека, а за ноль времени выберем любой момент и будем считать, что в этот момент человек был и в нулевой пространственной позиции. За единицу времени выберем часы, а за единцу расстояния — километры.

Точно также будем отмечать точки, относящиеся к человеку. Человек будет смещаться и в пространстве и во времени. Для этой ситуации мы получим следующую диаграмму:

Видно, что мировая линия движущегося тела предствляет собой наклонную прямую. По наклону можно определить скорость движения: здесь на каждую одну клеточку по вертикали (час) линия смещается на пять клеточек вправо (километров).

Разные скорости

Если мы добавим к этому человеку второго, плетущегося со скоростью 5 километров за 2 часа, то получим такую диаграмму:

То есть, чем медленнее движется тело, тем более вертикальна его мировая линия (совсем неподвижное тело имеет вертикальную мировую линию).

Очевидно, что пространственно-временные диаграммы представляют собой ни что иное, как изучаемые в школе графики движения. Отличий всего два. Во-первых, на графиках ось икс обычно проводят вертикально (это несущественное отличие). Второе отличие заключается в том, что график мыслится просто как график, а пространственно-временная диаграмма изображает реальность 4-мерного пространства.

Изменение скорости

Теперь рассмотрим автомобиль, который какое-то время стоял неподвижно, а потом вдруг резко понёсся в некотором направлении. Направим осьикс в этом направлении, а единицы не будем конкретизировать. Получим такую диаграмму:

Отсюда видно, что неравномерное движение отображается на пространственно-временной диаграмме непрямой линией.

Вообще, при построенни пространственно-временных диаграмм используется та же самая идея разворачивания динамического процесса на бумаге. Вот мультик с ракетой, который это иллюстрирует (мультик я нарисовал давно, поэтому цвета и макет несколько другие):

Белой линией обозначена реальность так, как её видим мы, то есть, в виде динамического процесса, разворачивающегося во времени. Это ракета, которая стола, затем разогрела двигатель и полетела. На заднем плане показана реальность, как её видит Бог, то есть, в виде всей истории мира, записанной вкниге судеб (надеюсь, вы понимаете, что это просто образное описание). Это изломанная мировая линия.

Добавим на диаграмму ракеты или автомобиля немножечко реализма и предположим, что автомобиль припустил не мгновенно, а плавно менял свою скорость от нуля до конечной скорости движения. Получим вот такую диаграмму:

Теперь перейдём к теории относительности.

Обычно на диаграммах для теории относительности выбираются такие единицы измерения, в которых скорость света равна единице. Мы уже изучали этот случай. Чтобы скорость света стала равна единице, надо либо время измерять в метрах (1 метр времени равен времени, за которое свет проходит 1 метр), либо пространство измерять в секундах (одна секунда пространства — это расстояние, которое свет проходит за секунду). Ясно, что в этом случае свет будет проходить за одну единицу времени одну единицу пространства, что даст единицу в частном.

Световой импульс

Изобразим с учётом этого мировую линию светового импульса. Направим ось икс по пути следования импульса. Ясно, что раз свет теперь проходит за Н единиц времени Н же единиц пространства, то мировая линия светового импульса будет идти строго под углом 45 градусов.

Поскольку скорость света является предельной скоростью, то в этих единицах ни одна мировая линия ни одной реальной частицы или тела не может отклониться на пространственно-временной диаграмме от оси времени больше, чем на 45 градусов.

Замедление времени

На пространственно-временных диаграммах очень легко изобразить замедление времени. Допустим, мы рассматриваем не любые тела, а только часы, которыетикают . Каждыйтик является событием и его можно изобразить в виде точки на мировой линии. Поскольку тиков много, то много будет и точек. Поскольку время в движении замедляется, то на наклонной мировой линии точки будут идти реже. Вот так (масштаб и значения не соблюдены):

Мировые линии можно трактовать какрельсы , а эти точки на мировой линии можно воображать какшпалы :

В этом случае закон замедления времени выразится так:в наклонных рельсах шпалы идут реже . Шпалы отмеряют так называемоесобственное время тела.

Относительность одновременности

По пространственно-временным диаграммам очень легко понять относительность одновременности. Относительность одновременности очень ярко выражается в ситуации, которую мы назвали парадоксом времени . Он заключается в том, что если разлетаются два человека, то с точки зрения первого время должно быть замедлено у второго, а с точки зрения второго — у первого, что интуитивно кажется невозможным.

Мы сейчас не будем проводить расчёт этой одновременности, просто качественно покажем, как это будет выглядеть.

Изобразим красной и синей толстыми мировыми линиями двух разлетающихся (после встречи людей). Проведём тонкие линии соотвествующих цветов отношения одновременности. То есть, по мере движения, длякрасного в каждый момент является одновременным то, что находится на тонкой красной линии, которую он сейчас пересекает. Для синего аналогично.

Видно, что по мере полёта икрасный исиний отстают по времени от другого, если смотреть по своим линиям.

Особо следует обратить внимание, что рисунок совпал с рисунком, получившимся из попытки придумать заклинание для волшебницы.

Парадокс близнецов

Парадокс близнейов отобразится следующей диаграммой:

Красным цветом изображена мировая линия Земли (а также оставшегося на ней близнеца), синим цветом изображена мировая линия летавшего близнеца, а зелёным — мировая линия планеты, на которую он летал.

Здесь не изображены шпалы, но ясно, что явление близнецов объясняется тем, что синяя линия должна иметь меньше шпал.

Лоренцево сокращение

Чтобы изобразить лоренцево сокращение, нужно изобразить мировую линию начала и конца стержня. Получится (качественно) примерно это:

Видно, что расстояние между началом и концом, взятыми в один и тот же момент времени, меньше, когда стержень движется, чем когда он покоится. Достигается это засчёт того, что момент начала движения (излом) конца опережает момент начала движения начала. Это происходит потому, что одновременность движущего стержня другая. Она изображена зелёной линией и с её точки зрения старт стержня происходит одновременно.

Парадокс карандаша и пенала

Парадокс карандаша и пенала изображается усложнённой диаграммой лоренцева сокращения.

Здесь добавлены мировые линии передней и задней стенок пенала, причём одна из стенок сначала открыта и изображается пунктирной линией. Видно, что карандаш действительно попадается в пенал и должен остаться сжатым, если пенал достаточно прочный.

Вот и всё. В будуем выпуске я расскажу, как изобразить на диаграмме преобразование Лоренца.


Димс.