Главная / Визуализация воздействия преобразований Лоренца

Визуализация воздействия преобразований Лоренца

Здравствуйте, уважаемые читатели!

Предыдущее задание

Задание из предыдущего выпуска решается, по моему мнению, так.

Одна из точек (событий) между которыми считается интервал, выбирается за начало отсчёта. Все её координаты становятся нулями, и они остаются нулями при любых преобразованиях. Интервал в этой системе отсчёта получает вид, например:

Здесь мы специально выбрали те же буквы, что стоят свободно в нашей записи преобразований Лоренца. Потом в эту формулу подставляется выражение координат из преобразования Лоренца:

Всё, эта формула УЖЕ представляет собой интервал в новых координатах, нам её надо только упростить и убедиться, что она имеет тот же вид.

Вычисляем квадраты:

Раскрываем скобки с квадратами по школьной формуле

получаем

в левом слагаемом вносим в числитель, при этом часть букв сокращается

Теперь у нас под корнем две дроби с одинаковым знаменателем и правила позволяют нам объединить числители (не забываем знаки):

тут сразу взаимно уничтожаются члены

где я так же переставил члены.

Теперь в каждой паре членов сверху выносим за скобки и соответственно, получаем

Уже начинает прорисовываться то, что может сократиться.

В левом слагаемом в числителе выносим за скобки , получаем

Математические правила позволяют нам переставить местами члены всей разности если при этом мы изменим знак её всей. Что мы и делаем в правом слагаемом в числителе:

Теперь сразу видно, что можно сократить, получаем

Поскольку справа у нас всегда стояло одно и то же , то все последовательные формулы были равны друг другу. При этом во формуле в новых координатах интервал оказался таким же, как и в старых. Что и означает, что одна и та же формула интервала, записанная в разных координатах для одного и того же события, даёт один и тот же результат (который у нас тут обозначен просто буквой ).

Кстати, видите, с буквами работать просто, надо просто думать, что это неизвестные числа.

Теперь к теме сегодняшнего выпуска.

Вот такой простой вопрос может возникнуть: а почему, собственно, вот эти вот формулы:

и

обычно называются «преобразованиями» Лоренца? Не «формулы» Лоренца, не «закон» Лоренца, а именно «преобразования»? Причина этому в том, что данные формулы относятся к широкому классу формул, которые «берут» одну группу именованных чисел и превращают её в другую группу.

Преобразования Лоренца, например, в том виде, в котором мы их рассмотрели, преобразовывают пару чисел, что математически записывается вот так:

Каждая из этих пар чисел представляет собой точку на плоскости (в сечении 4-мерного пространства, не забывайте). Следовательно, формулы Лоренца заменяют одну точку на другую. Если представить себе множество точек на плоскости, образующее какую-нибудь геометрическую фигуру, то разные формулы Лоренца (при разных скоростях) будут по-разному «плющить» эту фигуру.

Ну вот. А поскольку по-научному «плющить» не говорят, а говорят «преобразовывать», то так эти формулы и назвали.

Мы с Вами можем на всё это посмотреть.

Это Java applet – маленькая программка, которая работает в окне браузера. Чтобы она заработала у Вас, на Вашем компьютере должна быть установлена библиотека Java Runtime Engine (сокращённо JRE). Установить её можно отсюда: http://www.java.com/. Скорее всего, однако, она у Вас уже загружена или браузер сам предложит её загрузить. Возможно, почтовый клиент или служба рассылок вообще не покажут апплет.

На этой картинке нарисованы оси координат. Вертикальная ось – это ось времени. Она простирается от –1 секунды от настоящего к +1 секунде. Горизонтальная ось – это ось пространства. Она простирается от –300 тыс. км до +300 тыс. км. Цифры не подписаны. Фактически, масштаб таков, что скорость света равна 1 экранная единица по вертикали за экранную единицу по горизонтали. Мировые линии лучей света обозначены жёлтым и идут поэтому под углом 45 градусов.

На плоскости отмечен ряд точек, образующих по форме букву «А». Точки можно добавлять или удалять мышкой, а так же быстро стирать все и рисовать снова «А» при помощи кнопок внизу.

Картинка «живая» (потому что это апплет).

Внизу расположен ползунок, управляющий скоростью движения воображаемого наблюдателя, которых исследует всё представленное пространство-время. Изначально его скорость равна нулю. Подвигайте ползунок вправо и влево и Вы увидите, как работает преобразование Лоренца, как оно «плющит» или, говоря по-научному, «преобразовывает» букву «А».

Вот, что называется «поворотом» в 4-мерном пространстве (или «гиперповоротом» или 4-поворотом). Буква «А» не просто поворачивается, а изменяется более причудливо. В этом отличие пространства Минковского от обычного евклидова пространства. Как работает обычный поворот – тоже можно посмотреть в нашем апплете – там внизу слева есть кнопка переключения между пространством и пространством-временем.

С 4-поворотом можно заметить несколько важных вещей.

Во-первых, прямые линии остаются прямыми. Меняются углы между ними, но сами линии не искривляются (пример – боковые палочки буквы «А»).

Во-вторых, и это мы уже знаем, одновременность относительна. Посмотрите на горизонтальную перекладину буквы «А». Первоначально её концы находятся на одном уровне относительно оси времени, а это значит, что они обозначают одновременные события. Когда мы двигаем ползунок, перекладина может наклоняться и в ту и в другую сторону, что означает, что концы перестают быть одновременными и либо один, либо другой происходит (это же событие!) раньше.

В-третьих, мировые линии лучей света не изменяются. Если Вы очистите поле и поставите точку на мировую линию света, то увидите, что она ползает по ней, но не сходит.

В-четвёртых, и это даже более важно. Мировые линии света разделяют поле на 4 секции. И если какая-либо точка «зародилась» в одной из этих секций, то она оттуда уже не выберется, как бы её ни плющило.

Что же это за секции такие?

Если Вы вспомните материал предыдущего выпуска, то поймёте, что точки, которые находятся в верхней и нижней секции, отстоят он начала координат на времени-подобный интервал. Вот почему он так называется: «его» секция содержит в себе ось времени и, меняя скорость, всегда можно добиться, чтобы он превратился в обычный промежуток времени (любая точка иногда пересекает ось времени).

Точки, которые находятся в правой или левой секциях, отстоят от начала координат на пространственно-подобный интервал. Название и свойства у него аналогичные.

На самом деле, только в таком сечении 4-мерного пространства эти секции образуют 4 равноправные области. Если улучшить сечение, включить в него другие оставшиеся измерения, то фигура, делящая 4-пространство на части станет уже другой (она покажется вся). Она называется «световым конусом» и будет рассмотрена в следующих выпусках.

В заключение зададимся вопросом: по каким линиям движутся точки во время 4-поворота? Если переключить наш апплет в режим обычного пространства, то можно увидеть очевидную вещь: при 3-повороте все точки движутся по окружностям. Если вернуть апплет в режим 4-мерного пространства, очистить поле, поставить одну точку и покрутить, то можно увидеть, что она движется не по окружности.

В качестве задания можно предложить рассчитать форму этой кривой. Для этого удобно (подсказываю) взять какую-нибудь точку на оси, пусть это будет ось времени. Пусть координаты этой точки будут , то есть, точка будет обозначать событие, произошедшее через секунд после начала отсчёта. Потом подставить эти координаты в преобразование Лоренца, оно от этого упростится:

Эти две формулы дают различные в зависимости от . Если бы мы написали программу, которая меняла бы , вычисляла бы координаты и рисовала бы линию, то мы бы её увидели. Но чтобы опознать кривую аналитически, нам надо получить формулу, которая вычисляет на основе . Вот как это сделать?

На этом всё.


Димс.